Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Ф 0. Тогда (р0, е0)-двойная точка.
В случае (А) находим из (11.44), что в особой точке (р(е0), е0)
((r)о) ~ Fee "Б Ре^ем = PfEДД Ре^ед ^ O' (11.46)
Соотношение (11.46) показывает, что для (р(е0), е0) выполняется
характеристическое квадратное уравнение (II.7). Поскольку существует
кривая, проходящая через эту точку, то 0, и нам необходимо показать, что
ЭФ0. Предположим, что D=F-ЕдДЕеЕ=О, и покажем, что это предположение
противоречит (II.46). Сначала отметим, что из (11.46) следует, что не все
вторые производные от F равны нулю в (р(е0), е0). Если ЕдДЕЕе Ф 0 и D =
0, то (11.8) принимает вид рЕ(е0) =-Ёед/^дд, а (II.46) можно записать в
форме Fee-(Е|д/Едд) =-D/Едц^0. В результате получаем Эф0. Если FmFee = 0
и D = 0, то ЕЕц = 0 и (11.66) можно записать в виде Ое = Аее = -
Р1Едд=^=0. ПОЭТОМУ В ИТОГе Эф 0.
В случае (Б) разрешим Е(р, е) = 0 относительно е(р). В особой точке (р0,
е0) имеет место строгая потеря устойчивости, потому что Од = Fец + Еее8д
= Еед = У D Sgn Feд.
§ 11.10. Смена устойчивости в двойной точке
Можно сделать точные заключения относительно устойчивости решений вблизи
двойных точек. Все возможные результаты о характере устойчивости двойной
точки бифуркации можно описать случаями (А) и (Б), которые были точно
охарактеризованы после уравнения (II. 11). В случае (А) через двойную
точку (р0, е0) проходят две кривые р(1)(е) и р(2)(е). В случае (Б) через
двойную точку проходят две кривые е(1)(р) (с е[р(р0) = 0) и р<2) (е).
Собственное значение оа> соответствует кривой с верхним индексом (1), а
а(2)-кривой с верхним индексом (2).
Теорема 2. Пусть (р0, е0)-двойная точка. Тогда в случае (А) а(1) (е) = -
р#* (е) {s VD (г - е") 4- о (е - е0)}, (11.47)
а121 (е) = р(|> (е) {s VD (е-е0) + о (е - е0)}, (11.48)
где s - Едд/| ЕдД |, a D и Fцм, вычисляются при е = е0. В случае (Б) а11)
(p) = s VD{\k-р0) + о(р~- р0), (11.49)
о(2) (е) = -sp(e2) (е) {\F D (г-е0) + о (е - е0)}, (II .50)
где s = FЕд/| Еед I •
Доказательство. Если р = р(е), то (11.44) принимает вид о (е) = -рР (е)
Ей (р (е), е) =
-Ее (в) {[ЕД|Х (Ц", 80) рЕ (80)-f Еед (р0, 80)](8-80)+о(е-е0)}. (II.51)
БИФУРКАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ 29
Формулы (11.47) и (11.48) получаются из (11.51) при подстановке вместо
ре(е0) значений, даваемых (II.8). Если е = е(р) и одновременно ед(р0) =
0, то Fw (ро, е0) = 0, /^(Ро, e") = D и
o(p) = Fe(p, е(р)) = Fefl (р", е0)(р-р0) + о(р -р0) =
= s\f D (ц-р0) + о(р-Ро)-
Теорема 2 дает исчерпывающую классификацию связи устойчивости решений
вблизи двойной точки с наклоном бифуркационных кривых вблизи этой точки.
Полученный результат можно сформулировать следующим образом. Пусть |е-е01
> 0 мало. Тогда из
И-
Рис. 11.2. Устойчивость решений в окрестности двойной точки бифуркации.
На каждой из восьми схем двойной точкой является (р0, е0). Для верхних
четырех схем s = - 1, а для нижних схем s=l. Устойчивость определяется
знаком собственного значения, даваемого формулами (11.47) и (11.48).
(11.47) и (II.48) следует, что о(1)(е) и а(21 (е) имеют одинаковый
(разный) знак, если р^ (е) и р(е2) (е) имеют разный (одинаковый) знак.
Аналогичное утверждение можно вывести из (II.49) и (11.50). Возможные
распределения устойчивости решений схематично показаны на рис. II.2
(пунктирные линии соответствуют неустойчивым решениям).
Теорема 3. Предположим, что все особые точки решений F (р, е)=0 являются
двойными точками. Смена устойчивости таких решений должна происходить в
каждой регулярной экстремальной точке и в каждой особой точке (не
являющейся экстремальной точкой), и только в таких точках.
30
ГЛАВА II
§ 11.11. Смена устойчивости в двойной точке для задач, приведенных к
локальной форме
Анализ двойной точки бифуркации оказывается еще проще, если сначала
сделать редукцию (1.14) к локальной форме. Уместно сделать несколько
замечаний о бифуркационных диаграммах, которые следуют из анализа (1.14).
Обычно в литературе исследование начинают со случая, когда и = 0-решение
эволюционной задачи.
Односторонняя
суперкритическая
бифуркация
С1
Г*
X \ U
5 / / / У / /
4s
М
Односторонняя
субкритическая
бифуркация
и/
М
Двусторонняя ( транскритическая) бифуркация
Рис. II.3. Устойчивость решений, ответвляющихся при е = 0. Для
субкритических решений |е| > 0 для тех значений р (> 0 на диаграмме), для
которых е = 0 неустойчиво. Для субкритических решений |е| > 0 для тех р,
для которых е = 0 устойчиво.
Если Е(р, 0) = 0 для всех р, то /^(0, 0) (0, 0) = 0 и условие
строгой потери устойчивости решения " = 0 при переходе р через нуль
принимает вид
(0) = Еде (0, 0)ф0, пусть >0. (11.52)
Тогда D = /7|ti>0 и
а<г> (е) = - р<|> (е) оу" (0) {е + о (е)). (11.53)
Бифуркационные диаграммы, которые следуют из этих результатов, и
относящиеся к ним заключения приведены на рис. II.3 и подписях под ним.
Прекрасный демонстрационный опыт, помогающий понять идеи, содержащиеся в
теореме 3, придумал Т. Бенджамин. Его опыт-это пример выпучивания простой
