Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
распределения устойчивости в точке возврата представлены на рис. II.6.
§ 11.13. Смена устойчивости в тройной точке
Устойчивость решений уравнения (11.25) можно установить из анализа знака
выражения
о(е) = - pE(e)/v(p(e), е) =
= - J Ре (е) Аддд (p'pVe' + р'е'р'е' + Ре'Ре3') -
- J Ре (80) (Ре1' + Ре2' + Ре') + Pi (80)| (в - 60)2 + О (6- е")3,
где при разложении /гд(р(е), е) в ряд по степеням е-были использованы
формулы (11.26), (11.27). Это выражение можно пред-
34
ГЛАВА II
ставить на каждой из трех ветвей в следующей форме:
aU) (е) 1 Ре' (е) (Р(е' -Ре') (Ре' - Ре')'
ат (е) L р - 6 иди Ре' (8) (Р(е' -Р(|') (Р(е3) - Р'е')
(е-е0)а +
_о(3) (е)_ _Р(Ч' (8) (P(e' - Ра3)) (Ре'-Р(е3)).
+ О(е-е0)3, (11.57)
где без ограничения общности можно считать, что р(е1) > р(е2' > р1е3).
Из (11.57) легко определить распределение устойчивости на трех различных
ветвях. Например, знак
б0(/>(8)
совпадает со знаком (-1)Л
Мы оставляем в качестве упражнения для интересующегося читателя
дальнейшие заключения о бифуркации и устойчивости в особой точке, в
которой все вторые производные равны нулю. Здесь
€
\
ц= 9/и
Рис. 11.7. Бифуркация, устойчивость и области притяжения положением
равновесия решений уравнения
-^="(9-pU)(p + 2U-"2)([p-10]*+["-3]2-l). (11.58)
Равновесное решение ц - 9/и в третьем квадранте и окружность являются
изолированными решениями, которые нельзя получить из анализа бифуркации.
БИФУРКАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ 35
достаточно будет лишь отметить, что смена устойчивости на ветви,
проходящей через такую точку, может происходить тогда и только тогда,
когда |Ае(е) изменяет на ней знак.
11.14. Глобальные свойства устойчивости изолированных решений
Можно показать, что все полученные до сих пор результаты приложимы к
задачам, которые описываются дифференциальными уравнениями с частными
производными, вроде уравнений Навье - Стокса, при условии бифуркации в
простом собственном значении
Рис. II.8. Изменение F, удовлетворяющей хорошим условиям на прямой р =
const. Непосредственно видно, что знак тангенса углов наклона чередуется.
(объяснение этого условия будет дано в гл. IV). Теорема 2 применима к
этим более общим задачам, так как все ветви связаны; на самом деле эти
ветви принадлежат пространству высокой размерности, а их проекциями
служат плоские кривые.
Здесь необходимо подчеркнуть, что равновесные решения эволюционных
уравнений не обязательно должны иметь ветвления. Существуют изолированные
решения, столь же обычные, как дождь, которые не связанны с другими
решениями посредством ветвления. Такие изолированные решения уравнения F
(р, е) существуют даже в одномерных задачах (см. рис. II.7, где приведен
типичный пример). В одномерном случае можно доказать, что устойчивые и
неустойчивые решения, пересекающие прямую p = const, чередуются, как
показано на рис. II.7. Этот результат, однако, строго одномерен и
неприменим к одномерным проекциям задач высших размерностей, для которых
кривые решений, выглядящие пересекающимися после их проектирования на
плоскость бифуркационной диаграммы, на самом деле не пересекаются в
пространстве высшей размерности. Строго одномерный результат, на который
мы только что сослались, дает полное описание областей начальных
значений, притягиваемых равновесным решением.
Чтобы получить сильный результат в R1 о чередовании устойчивых и
неустойчивых решений, необходимо потребовать от F некого-
36
ГЛАВА I]
рых разумных условий гладкости. Например, если для фиксированного р
решения е уравнения /''(р, е) = 0 изолированы, то они счетны и мы можем
обозначить их ег, где ег_! < < ег+1 и / ? Z (множеству
положительных или отрицательных целых чисел).. Теперь потребуем, чтобы
линия р = const не проходила ни через одну особую точку функции F и чтобы
/^(р, Е/)^0 для всех I. Эта ситуация изображена на рис. II.8.
Важность этого результата подчеркивает схема области притяжения
равновесных решений уравнения (11.58), показанная на рис. II.7.
Глава III
ТЕОРИЯ НЕСОВЕРШЕНСТВ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ, РАЗРУШАЮЩИЕ БИФУРКАЦИЮ
Изолированные решения, вероятно, весьма часто встречаются в динамических
задачах. Один из путей их исследования состоит в возмущении задач, в
которых происходит бифуркация. Этот метод исследования изолированных
решений, которые близки к бифуркационным решениям, известен как теория
несовершенств. Некоторые основные идеи, содержащиеся в теории
несовершенств, можно понять из сравнения изгиба первоначально
прямолинейной колонны с изгибом первоначально несовершенной, скажем
изогнутой колонны (см. рис. III. 1).
Г
Максимальное горизонтальное отклонение колонны
Рис. Ill. 1. (а) Выпучивание прямолинейной колонны. Двойная точка
суперкрити-ческой бифуркации, (б) Выпучивание изогнутой колонны.
Изолированные решения, разрушающие двойную точку бифуркации.
38
ГЛАВА III
Первая колонна будет оставаться прямолинейной при увеличении концевой
нагрузки Р до достижения критической нагрузки Рс. Затем в колонне
