Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
конструкции под действием собственного веса. Прибор представляет собой
доску с двумя отверстиями, через которые пропущена проволока, образующая
над доской дугу длиной I. Проволока, фактически используемая в приборе
Бенджамина, похожа на велосипедный тормозной тросик: она свита в тугую
спиральную пружину и покрыта пластмассовой трубкой. Прибор схематически
изображен на рис. II.4.
БИФУРКАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ 31
Пусть уравнение движения проволочной дуги имеет вид
?=г(/,в).
в).
(11.54)
Равновесные решения этого уравнения вида F(l(0), 0) = О показаны на рис.
II.5. Здесь 0 = 0-это одно решение (прямостоящая дуга), а /(0)-другое
решение (согнутая дуга). Фактически существует взаимно-однозначное
соответствие между опытом Бенджамина и бифуркационной диаграммой (II.5):
все, что можно наблюдать в опыте,
Рис. II.4. Прибор Бенджамина для демонстрации выпучивания дуги проволоки
под действием гравитационной нагрузки. Бифуркационная диаграмма,
соответствующая этой системе, показана на рис. II.5. Для малых I
единственному устойчивому решению уравнения (11.54) отвечает вертикальное
положение дуги проволоки (0 = 0) Если I > 1С велико, то вертикальное
положение неустойчиво и дуга наклоняется влево или вправо, как показано
на эскизе (вид спереди). Наклонное положение проволоки устойчиво также,
если I < 1с. Если /0 < / < 1С, то существуют три стационарные решения:
вертикальное положение (0=0) и левое или правое наклонное положение (| 0
| Ф 0).
присутствует и в диаграмме, и напротив, все особенности диаграммы
наблюдаются в опыте. Объяснение наблюдаемых при этом событий содержится в
подписи к рис. II.5.
Бифуркация в двойной точке-самая распространенная форма бифуркации в
сингулярной точке. Другие виды бифуркаций (точки возврата, тройные точки
и др.) встречаются реже, поскольку для них необходимы определенные
соотношения между старшими производными от F {\х, е). Такие ситуации
часто называют необщими бифуркациями. Существует строгая математическая
трактовка термина "общий" (связанная со всюду плотными множествами
специального вида), но чаще всего он используется вместо обычного слова
"типичный". Анализ типичных задач неприменим к нетипичным случаям.
Например, безусловно разумнее основывать вычисления
Сила
тяжести
Вид сбоку
Вид спереди
32
ГЛАВА II
притяжения между точечными массами на ньютоновом законе обратной
пропорциональности квадрату расстояния, а не на некотором воображаемом
общем законе, скажем, ~1 /г2 + е (что привело бы к еще более странному
миру с е=^=0, чем известный нам мир с е=0).
Рис. II.5. Бифуркационная диаграмма нагружения проволочной дуги. Если I
мало, то единственным положением равновесия уравнения (II.5) является
вертикальное положение (0 = 0). Решение 0 = 0 теряет устойчивость, если р
= I-1С, возрастая, проходит через нуль. Тогда решение р(0) = 1(9)- 1С,
соответствующее наклонной дуге, имеет двойную точку бифуркации в особой
экстремальной точке (/, 0) = (/с, 0). Система обладает симметрией по 0.
Если / > 1С, то устойчивыми являются только левая и правая наклоненные
конфигурации. Точки (/, 0) = (/о, ± 0О) суть регулярные экстремальные
точки. Если /"<;/<;/<,, то существуют три устойчивые решения: 0 = 0 и
симметричные левое и правое наклоненные положения. В этой области система
имеет гистерезис. Если длина дуги I части проволоки, расположенной над
доской, уменьшается и проволока находится в наклоненном положении, то
наклоненная конфигурация продолжает наблюдаться до / = /0. Если / = /0,
то бифуркационное наклоненное положение соответствует регулярной
экстремальной точке. Если 1< 10, то единственное положение равновесия 0 =
0 устойчиво. Поэтому, если I сделать меньше, чем то дуга моментально
примет вертикальное положение. Теперь, если увеличивать /, то дуга будет
оставаться в вертикальном положении до 1=1С. Если I >1С, то вертикальное
положение теряет устойчивость и дуга принимает левое или правое
устойчивое наклоненное положение.
В том же смысле можно сказать, что если в вашей задаче D = 0, когда все
вторые производные отличны от нуля, то вы неизбежно получите бифуркацию в
точке возврата независимо от того, насколько типична бифуркация в двойной
точке.
БИФУРКАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ 33
§ 11.12. Смена устойчивости в точке возврата
Ограничиваясь рассмотрением точки касания второго порядка, разложим
множитель /^(р (е), е) в ряд по степеням (е-е0) и в слу-
Рис. 11.6. Устойчивость решений, ответвляющихся в точке возврата второго
порядка.
чае (А) найдем ош (е)"* а12" (е)
Ре' (8) - р<Я (е)
[(8-80)2-f-0(е-е0)3], (11.55)
где s = sgn/7Wi. В случае (Б) разложим о(р) = /г8(р, е(р)) в ряд по
степеням (р-р0) и найдем, что
с*1'(р)
a<2'(p)J
1
- 1
[(р - Ро)2 + О(р - Р")3], (11.56)
где s = sgn/7EE. Из (11.55) и (11.56) следует, что на каждой ветви,
проходящей через точку возврата второго порядка, смена устойчивости
происходит тогда и только тогда, когда рЕ (е) изменяет знак. Возможные
