Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
-0 может быть неустойчивым с обеих сторон от критического значения.
Дополнение IV. 1. Биортогональность обобщенных собственных векторов
Пусть А - (ях я)-матрица, п ^2; определим
Т = А-al, (IV.31)
где а-какие-либо из собственных значений А. Пусть
Мг = {ф; Тг-г|з = 0}
- нуль-пространство матрицы Тг,
т* = т.т...т (/ раз),
и обозначим через
яг = dim N{
число независимых векторов г|з, которые обращаются в нуль матрицей Тг,
где 1^1. Если Т'ф = 0, то Тп-ф = 0 для п ^ 2.
Поэтому, например, iV2 э Nt и iV"+I з iV". В § IV.2 было показано, что
индекс Риса v - наибольшее целое число, для которого
iV,ciV,c • • • c/Vv = Nv+k для всех
где вложения являются строгими. Нами уже определены nv = алгебраическая
кратность а, пх=геометрическая кратность а,
и, естественно, nv^n1. Векторы ф?Ух являются собственными векторами для
а; они удовлетворяют равенству Тг|з = 0. Векторы называются обобщенными
собственными векторами.
60
ГЛАВА IV
Если v=l, то не существует обобщенных собственных векторов. В этом случае
о-полупростое собственное значение А; оно простое, если ^=1, и более
высокой кратности в противном случае. Индекс Риса, равный единице,
означает, что о-полупростое собственное значение.
Кроме того, для присоединенной задачи имеем следующие обобщенные нуль-
пространства:
N] = {y*\ (ГУ-я^О}.
Они имеют ту же самую размерность, что и Nt:
nt = dim N' = dim Nt для 1^/^v. (IV.32)
Покажем теперь, что собственные значения а вещественной симметрической
матрицы А являются вещественными и полупростыми, и поэтому собственные
векторы А являются собственными, а не обобщенными собственными векторами.
Мы имеем А • х = ох и <А-х, х> = <х, А-х>, так что о<х, х> = о<х, х> и о
-о, если хфО. Предположим теперь, что Т2-я|) = 0. Тогда
0 = <Т2-я|), я|)> = <Тя|), Т я|)>,
где ТГ = Т, потому что а = а. Отсюда следует, что Т - ¦ц? = 0, и поэтому
я|:-собственный, а не обобщенный собственный вектор.
В общем случае можно показать (см. книги по линейной алгебре, в которых
излагается теория жордановых базисов), что можно вы-
/V *)
брать обобщенные собственные векторы Т: я|г11,> я}:,- так, что
т-ч/г-о, Tf'-r1,
(-1........
Кроме того, можно выбрать обобщенные собственные векторы
*(v.)
i так, что
хг T*(vi) о хг T*(VI_1) 7*'"'
ТГ- =0. Т • Я|у = Я|5,
/V.) fv-i) (IV.33)
Т • Чт = Я|5 ' \
-*(V •)
Тг: я|5(*11), .я|); 1 так, что
(IV.34)
T7'^l-(1) = я|5*(2), (=1......к,
где
<я|У\ я|);'т|> = 6,76"". (IV.35)
На самом деле некоторые из соотношений (IV.35) автоматически выполняются,
а другие можно удовлетворить в результате соответствующего выбора я)(см.
приведенный ниже пример). Условия биортогональности, которые
автоматически выполняются, можно получить следующим образом:
<^Г\ = <т-я15(у+1), я1з;(,г> =
= <Яр'т + 1>, =
= <яWn"<>,
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ И А'-МЕРНОМ СЛУЧАЯХ 61
если l^m<vf, l</i^v/.. Отсюда заключаем, что
<ф<т), ^/(V/> > = 0, 1 < V,,
Ф/'п)> = 0, 1 </i<vy,
<ф(гт\ ф*(т> = 0, /г^т+1.
Пример IV.1. Рассмотрим матрицу
"О О Г
о о о о
Нуль является собственным значением Т с алгебраической кратностью, равной
трем, и
"Г '0'
х, = а 0 х - S 1 л2 - г' 1
.0 _0_
суть собственные векторы, соответствующие нулевому собственному значению.
Легко проверить, что единственная комбинация axj-f-fixg, удовлетворяющая
уравнению Т-'"р = ах1 + |3х2, есть та, для которой а = 1, (3 = - 1, т. е.
" Г
Тар = х, - х2 =
- 1 О
(IV.36)
Отсюда следует, что невозможно разрешить уравнения
Тф = х,, Тф = ха
относительно обобщенного собственного вектора ф = ф(2). Тем не менее
можно выбрать собственный вектор матрицы Т в форме
'Г ' Г
ф'1' = 0 и ф^' = -1
.0. 0_
Обобщенный вектор ф = ф!
|(2>
удовлетворяющий (IV.36), имеет вид "О"
ф<2> =
Присоединенные собственные векторы, удовлетворяющие уравнениям
ТГ.ф*(2. = о,
ТгФ;(1, = Ф2*<2), (IV.37)
Тг.ф.сч^о,
62
ГЛАВА IV
где
суть
Тг =
О О О'
0 0 0
1 -1 о
~аГ '0 ~ as "Ь Рг
ФГ(1) = "i , t2*<2,= 0 , = а3
LPij А. - рэ .
Кроме того, эти векторы удовлетворяют (IV.35), если
"Г "0" ¦ 0'
= 1 0 , ^2*(1) = -1
.0, _1_ 0
Дополнение IV.2. Проекции
Рассмотрим линейный оператор Р, определенный в R" соотношением
Р• х = <х, 'ф'У'ф для любого х в R", (IV.38)
где и я|:*-два вектора, удовлетворяющие условию <л)-, = 1.
Тогда Р2 • х = Р (Р • х) = <х, ,ф*>Р-'ф = <х, ij3*> I • = Р •
х, и поэтому
имеем
Р2 = Р. (IV.39)
Более обще, всякий линейный оператор Р в R", удовлетворяющий условию Р2 =
Р, называется проекцией.
Рассмотрим теперь семейство р векторов (я^, ..., i|5p) из R" и
биортогональное семейство ("ф*, ..., Т*)< удовлетворяющие условиям
<t,-> 4'*> = e,y. i. /=1> •••. Р- (IV.40)
Тогда можно определить линейный оператор Р следующим образом:
Р-Х= 2 <х. ti^ti-1=1
(VI.41)
Легко проверить, что (IV.39) выполняется; поэтому (IV.41) определяет
проекцию на р-мерное подпространство пространства R". Условия (IV.40)
необходимы, иначе для этого оператора не выполнялось бы условие Р2==Р.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ И //-МЕРНОМ СЛУЧАЯХ 63
