Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Существует тесная связь между достаточным условием det у ФО существования
ветви и устойчивостью решений. Устойчивость любого решения по отношению к
малым возмущениям vt для (V.3) или (V.2) определяется на основе
линеаризованной эволюционной задачи, описывающей vt:
dvt _
dt But 1 dtii
-l- - - v 4- - v I = 12
где для (V.3) или для (V.2)
fl /ПН'О! (M'o)l U2 (И-о))
/г = Ме<Л(е0), e0, e0y(e0)).
Эволюционной задаче удовлетворяют экспоненты \{t) = et% (М0 = е*Е|),
если собственное значение у и собственный вектор ? удовлетворяют
спектральной задаче у = У-?>. Собственные значения матрицы Якоби У суть
уДро) и у2(ро). и решение (V.3) устойчиво, если при р = р0
68
ГЛАВА V
(или при е = е0 и р0 = р(е0)) вещественные части собственных значений
отрицательны. Очевидно, что (pi0, ы,, и2) = 0 и
det ^ = Ух (Цо) Уг (Но) ^ О
представляет собой достаточное условие существования непрерывной ветви
решения (V.3) для р, близких к р0. Это условие выражено через собственные
значения, определяющие характер устойчивости.
Если Ух (р0) комплексное, то у2 (Но) = Ух (Но) и det f = | ух (р0) |2 > >
0. Если Ух (Но) вещественное, то у2 (р0) тоже вещественное. Особый
случай, когда существование ветви, проходящей через точку (р0, "х, и2),
нельзя установить, отправляясь от (V.3) и используя теорему о неявной
функции, характеризуется тем, что одно из двух собственных значений,
определяющих характер устойчивости, обращается в нуль. Геометрически этот
особый случай можно описать следующим образом: det^^O при р = р" тогда и
только тогда, когда при р = р" кривые, связывающие и1 и м2 на (ых, "^-
плоскости, т. е. /х (Но. "1. и2) = 0 и /г(Ио> ui> ыг) = 0. пересекаются
трансверсально. Если эти кривые имеют в точке пересечения общую
касательную, то два уравнения
gUu,+§!-8", = 0, 1=1,2,
имеют ненулевое решение (8и1, 8и2) и поэтому det у = yt (р0) Уг (Ро)=0-
Полагая (р, ut, и2) = (гк, е, гу), получаем
ГЁк Ё11
б"х ди2
dh dh
- дщ ди2 .
au + e(?ia/4-2al+2Pj(/) b0 + е (kb' + 2ft, + 2угг/) , q/егч (V.4) со + в
(кс1 + 2аг + 2 Р2г/) d0 -f-e (kd1 + 2(t9 + 2у 2у)
§ V.2. Классификация трех типов бифуркации стационарных решений
Воспользуемся теоремой о неявной функции для доказательства существования
единственных функций к (в) и у (г), удовлетворяющих уравнениям
/х(р, "х, w2) = egi(4e), е, г/(е)) = 0,
/г(р, "" и2) = eg2 (А. (е), е, г/(е)) = 0,
где
ёЛК е, у) = аи + Ь0у+в[к(а'-\-Ь'у) + а^+2$^у + ч,у*] + 0(&1), g*(^> е, y)
= c" + d(ty + e[k(c' +d'y) + а2 + 2Ргг/+у2г/2] + 0 (е2).
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 69
Мы ищем стационарные бифуркационные решения уравнения
gt(h(e), е, у (е)) = 0, г= 1, 2. (V.5)
Для реш'ения (V.5) сначала потребуем, чтобы
gt(K, 0, г/0) = 0. i=l,2. (V.6)
Из уравнений (V.6) следует, что
= 0, (V 7)
('О + = 9.
Уравнениям (V.7) всегда удовлетворяет собственный вектор xt= ^ ,
1Уо
соответствующий собственному значению aj(0) = 0 (см. § IV.4.2). Для
решения (V.7) необходимо рассмотреть три случая;
(1) A = (au + da)2/4-a0d0 + b"c0 ф 0. Тогда (0) и a2 (0) различные. Более
того, из (V.7) находим, что a0da-b0c" = 0 и
Д = (а0-Н")2/4 > о,
так что два собственных значения аг (0) = h (0) = 0, a2 (0) = g2 (0)<0
(a0 -(- d0 < 0) вещественные. В этом случае мы имеем бифуркацию в простом
собственном значении (0) = 0. В гл. VI эта задача сведена к проекции на
R1.
(2) Oj (0) = сг2 (0) = 0 имеет индекс Риса, равный двум. Не ограничивая
общности (см. § IV.4.4.2), мы будем исследовать этот случай при следующих
значениях параметров:
ct0 - с0 = dti = 1 = уи = 0.
(3) at (0) = a2 (0) = 0 имеет индекс Риса, равный единице. Этот случай
соответствует бифуркации в двойном полупростом собственном значении.
§ V.3. Бифуркация в простом собственном значении
Положим
у = уи+&у (V.8)
и определим
ehi(l, е, y) = gi(k, е, уо + гу) = 0, (V.9)
где
hi (А, е, у) = !\у + X (a' ¦\-b'yii) + a, + 2f5,(/0 + y^yl + 0 (e) = 0,
h2(h, e, y) = d0y -p). (i -\-d'yu) -j- a2 -p2P2yu -руаг/б + О (e) = 0.
(V.10)
70
ГЛАВА V
Находим, что
hi (А,0, 0, y0) = b0y0-{-'k0(a0-{-b'0y0)-\-
"Ь (r)ю 2pi0t/0 ~Ь УюУи О" j
^2(^0. 0. Уо) - d0y0 + ^0 (со + d'0ya) -f-
+ a2l, + 2 р20г/0 -f ТаоУо = 0.
Вспоминая, что у0 = - a0/b0 = - c0/d", можно проверить, что уравнения (V.
11) определяют единственные значения t/0 и Я0 через коэффициенты,
вычисляемые при р = 0, если только отличен от нуля определитель из
коэффициентов при у0 и Х0. Этот определитель совпадает с определителем
матрицы Якоби
" dhi dhx "
дХ ду а0 + Ь0у0 Ь0
dh2 dho Со &0У0 d0
_ дХ дУ .
вычисленном при е = 0, и можно показать, что
d0 (а'0 + Ь'0уо)-Ь0 (Co + d'0y0) = g( (0) g2 (0) < 0. (V. 12)
Если условие (V.12) выполняется, то из теоремы о неявной функции следует,
что (V. 10) можно разрешить относительно Це) и у (в). Затем, возвращаясь
к (V.8), получим бифуркационные решения в форме (V.2).
Для доказательства (V.12) заметим, что из (V.7) следует d0 {а'о + Ь'0уо)-
Ь0 (с'о + d'oyo) =
= d0ao-сД-boCo + a0do= (V.13)
