Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 17

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 102 >> Следующая

регулярной экстремальной точке.
Свойство (1) следует из непрерывности, а свойство (2) из (III.32).
Типичные примеры применения законов устойчивости (1) и (2) показаны на
рис. III.9.
§ III.6. Изоляты
Теперь мы ослабим предположение, введенное в § III.1, и предположим,
что (III.2) и (III.4) выполняются для D < 0. Это
предположение означает, что особая точка уравнения Е(р, е, 0)
является
изолированной (сопряженной точкой) и бифуркация отсутствует, если 6 = 0.
Можно поступить так же, как и в § III.2, и вычислить
б = Д (р, е) = О (| р | +1 е | )2, где
F Дре Дрн Дее 0.
Главная часть 6 = Д(р, е); т. е. б = (1/2) Деее2 +Децвр-{-(1/2) Д^р2
определяет сечения эллиптического параболоида вместо гиперболического
параболоида, исследованного в § III.2. При корректном выборе знака б
кривые в плоскостях б = const являются замкнутыми (изоляты), и они
стягиваются в нуль при 6 ->- 0. Если б имеет другой знак, то решений не
существует.
Пример 111.4
def
F (р, 8, б) = ps + pe+E2 - 6+0{62-{-16 |(|е| + |р|) + (|в| + |р|)3)=0
Рис. III.10. Линии уровня изолятов.
определяет замкнутые кривые, близкие к эллипсам, если б положительно и
мало (см. рис. ШЛО).
Упражнение
III.I. (Теория несовершенств для "бифуркации в бесконечности" (р-> оо).)
Рассмотрим следующие два примера:
где р > 0 или р < 0.
dt *( р * *а)+б>
ТГ*{ }-х2)~8>
(III.33) (II 1.34)
ТЕОРИЯ НЕСОВЕРШЕНСТВ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ
47
Покажите, что стационарные решения и характер их устойчивости имеют вид,
представленный на рис. III.И и III.12. (Сравните с рис. III.5 и III.6.)
Задачи бифуркации из бесконечности исследованы Розенблатом и Девисом
(Rosenblat and Davis, SIAM J. Appl. Math., 1, 1-20 (1979)).
Замечания
Истоки теории несовершенств можно проследить по крайней мере до работ
Койтера (1945) по устойчивости упругого равновесия и Зохнера (1933) по
ориентации жидких кристаллов. Теория несовершенств Матковского и Рейсса
(1977) близка к изложенной здесь, однако цели, преследуемые этими
авторами, побудили их рассматривать задачу (аналитическую в случае, когда
F аналитична) как задачу сингулярного возмущения. Мы предпочитаем
подчеркнуть аналитическую
Рис. III.И. Случай (III.34).
Рис. III.12. Случай (III.33).
48
ГЛАВА III
природу задачи, обусловленную теоремой о неявной функции, чтобы
определить аналитические итеративные процедуры получения кривых. Теорию
несовершенств можно рассматривать как частный случай теории катастроф Р.
Тома (1968), соответствующий наличию лишь одного управляющего параметра
(6). В этом простейшем случае теории катастроф важную роль играет
каноническая кубическая кривая
6 = 26epi+de3, (111.35)
описывающая разрушение односторонней бифуркации. Она служит приближением
(с точностью до членов самого низкого порядка) к кривой (II 1.30),
связывающей о и е на плоскости p = const. Анализ членов правой части
уравнения (III.30) показывает, что б ~ О (е3), а члены, отброшенные при
переходе от (III.30) к (III.35), имеют порядок О (е4). График кривой
(III.35) подобен показанному на рис. III.8. Согласно нашей теории, рис.
II 1.7 дает первое приближение к кривым, разрушающим бифуркацию, и нет
никакой необходимости рассматривать кубическое уравнение. В недавней
работе Голубицкого и Шеффера (1979) некоторые предположения теории Тома
ослаблены, и задача о разрушении бифуркации эквивалентными классами
управляющих параметров рассматривается с общей, но более или менее
разработанной точки зрения.
ЛИТЕРАТУРА
Голубицкий, Шеффер (Golubitsky М., Schaeffer D. A.) Theory for imperfect
bifurcation via singularity theory. - Comm. Pure Appl. Math., 32, 1-78
(1979). Зохнер (Zochner H.)
The effect of a magnetic field on the nematic state. - Trans. Faraday
Soc., 29, 945 - 957 (1933).
Койтер (Koiter W. T.)
On the stability of elastic equilibrium (in Dutch).-Amsterdam: H. J.
Paris, 1945; translated into English as NASA TTF-10833 (1967).
Матковский, Рейсс (Matkowsky В. J., Reiss E.)
Singular perturbation of bifurcations.-SIAM J. Appl. Math., 33, 230-
256(1977). Tom (Thom R.)
Topological methods in biology.-Topology, 8, 313 - 335 (1968).
Глава IV
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ
И л-МЕРНОМ СЛУЧАЯХ
Во введении мы отмечали, что решения трех нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений могут иметь турбулентный характер и в этом
случае не поддаются элементарному анализу. В самом деле, наиболее полные
результаты, известные в теории бифуркаций, получены для задач, которые
можно свести к одномерным или двумерным задачам. Поэтому мы начнем наш
анализ с двумерных автономных задач, приведенных к локальной форме
(1.21):
^ = f(P, u), (IV-D
где
ft (р, и) = Аи (u) Uj + Bi/k (р) UjUk + Cim (и) ufukut + О (|| и ||4).
(IV.2)
Такие же самые уравнения (IV. 1) и (IV.2) можно рассматривать в К". В
общем случае нижние индексы пробегают значения (1, 2, ..., п)\ в [R8 п =
2.
Для анализа устойчивости стационарного решения U(p), соответствующего
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed