Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
происходит суперкритическая односторонняя бифуркация с двойной точкой
(эйлеров продольный изгиб). В этой идеальной (плоской) задаче невозможно
решить, куда будет происходить выпучивание колонны-влево или вправо.
Другая ситуация наблюдается для предварительно искривленной колонны.
Боковое отклонение начинается одновременно с нагружением искривленной
колонны, и она изгибается в направлении х < 0, т. е. в направлении
начального изгиба. Если начальный изгиб мал, то прогиб будет похож на
прогиб идеальной колонны. Он будет малым, отличным от нуля при увеличении
нагрузки вплоть до достижения значений, близких к Рс, затем прогиб будет
быстро расти с увеличением нагрузки. Если Р велико, то можно изогнутую
колонну в результате толчка перевести в устойчивое "ненормальное"
положение (х>0), противоположное по направлению начальному прогибу.
Для понимания изолированных решений, разрушающих бифуркацию,
представляется целесообразным проанализировать возможные случаи с общей
точки зрения. Это можно сделать просто, снова обращаясь к исследованию
одномерных задач.
§ II 1.1. Структура задач, в которых происходит разрушение двойной точки
бифуркации
Рассмотрим одномерное эволюционное уравнение
-^ = Ё(р, х, б), (III.1)
где б и р- параметры, F имеет в окрестности точки (р, х, б) = (О, О, 0)
по крайней мере три непрерывные производные по каждой из переменных. Для
упрощения обозначений будем опускать тильду над F и в частных производных
от F, когда эти величины вычисляются в точке (0, 0, 0). Например,
def _ def _
F = F(0, 0, 0), /Д = /Д(0, 0,0) и т. д.
Пусть (р, х) = (0, 0)-двойная точка /Др, х, 0) = 0. В такой точке имеем
F = 0, Fx = 0, /Д = 0,
D = F>-F^Fxx>0.
Нас интересуют стационарные решения
F (р, е, б) = 0,
(111.3)
ТЕОРИЯ НЕСОВЕРШЕНСТВ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ 39
которые при 6 = 0 разветвляются в двойной точке, а при б =^= 0
распадаются на изолированные решения. Для разрушения бифуркации
достаточно, чтобы
F6 Ф0. (III.4)
§ III.2. Теорема о неявной функции и седлообразная поверхность разрушения
бифуркации
Установим вид изолированных решений, разрушающих бифуркацию. Из теоремы о
неявной функции, (III.2)* и (II 1.4) следует, что существует функция 6 =
Д(р, е), такая что А(0, 0) = 0 и
F(p, е, Д(р, е)) = 0. (III.5)
Из (III.5) заключаем, что
+ = 0 (III.6)
и
Fe + F& Ае = 0. (II 1.7)
Поскольку в двойной точке /гд = /7е = 0 и Fb =^0, то
Ад = Ае = 0. (III.8)
Уравнения (III.8) показывают, что в трехмерном пространстве с
координатами (р, е, 6) поверхность 6 = Д(р, е) в точке (0, 0, 0) имеет
касательную плоскость 6 = 0. Покажем, что эта точка-седловая. Для этого
достаточно доказать, что наряду с (III.8) справедливо
Дде - ДддДев > 0. (II 1.9)
Неравенство (II 1.9) следует из выражений для трех вторых частных
производных от (III.5):
F дд *Т F бАцц = 0,
FEE + F6 Дее = 0, (III.10)
Где + ГбАце = 0,
и неравенства D > 0, которое выполняется в двойной точке
(III.2)4.
Поскольку Д(р, е) обладает такой же степенью гладкости, что
и F (р, е, 6), то А(р, е) можно представить в виде
разложения
6 = Д (р, е) = аг2 + 26ер -f ср2 de3 -f ее2р + /ер2 -f gр3 +
+ о((|р| + |е|)2)1), (III.11)
*) 0 ((I Р I +1 8 I )3) стремится к нулю быстрее, чем (| р I + | 8 I )3
при р -> 0 и е -> 0.
40
ГЛАВА III
где
г ее l 2Fa '
eu
d =
2F6 ' [Feee - 3 F geF Её/ Fg ]
3! F0
2 F6>
[F^ige - (2FeflFen-f-F6y,Fee)/F6 ] - 2Fft
/ =
[F n|ie - (2F |igF +FwFefi)/Fe] 2 F6
t^unu - 3Fn(iFn6/^6]
" 3! Fa
Наша задача теперь состоит в решении уравнения (III. 11) с коэффициентами
(111.12) относительно ц(е, б) (или е(р, б)) при фикси-
рованном значении б. Эти кривые определяются в результате пересечения
поверхности б = Д (р, е) с плоскостями б = const (см. рис. 111.2).
§ 111.3. Примеры изолированных решений, разрушающих бифуркацию
Представляет интерес привести некоторые простые типичные примеры
изолированных решений, которые рождаются в результате разрушения двойной
точки бифуркации с параметром б. Для малых значений б локальное
представление изолированного решения дается совокупностью членов
наименьшего порядка разложения (111.11)
6 = ае2 + 2Ьер + срЛ (111.13)
Это локальное сечение поверхности представляет собой гиперболу (см. рис.
II 1.3).
ТЕОРИЯ НЕСОВЕРШЕНСТВ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ 4|
Пример II 1.1. Двусторонняя бифуркация (рис. II 1.4)
F (р., е, б) = е(е-р) + 6 = 0. (III.14)
Пример III.2. Двусторонняя бифуркация с экстремальной точкой (рис.
III.5)i
в, <5) = е(р-е-е2) + 6 = 0. (III.15)
6 = 0
Рио. III.3. Проекция кривых Рис. III.4. Проекция кривых (III.14) на
(II 1.13) на плоскость 6 = 0. плоскость 8 = 0.
Пример II 1.3. Односторонняя суперкритическая бифуркация (рис. II 1.6)!
Р(р, е, 6) = е(е2-р) + 6 = 0.
(111.16)
Рис. III.5. Проекция кривых (111.15) Рис. III.6. Проекция кривых
(III.16) на
на плоскость 8 = 0. плоскость 8 = 0.
42
ГЛАВА III
§ III.4. Итеративные процедуры построения решений
На следующем этапе нашего анализа укажем алгоритм построения функции р(ё,
