Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
для обоих значений v0. Более того, дифференцирование (11.12) с
использованием (11.8) показывает, что
Gv(v0, e0) = 2(p8(e0)/7tiM-(-Fe(X)=±2KDsgnFu" ф0. (11.13)
Таким образом, теоремой о неявной функции гарантируется существование
двух функций и(1)(е) и и(2)(е), удовлетворяющих условиям О(1)(80) =
Р<е1)(е0) и 0(2> (80) = Ц(е ' (е").
Мы оставляем читателю в качестве упражнения строгое доказательство
существования бифуркации в случае (Б) с использованием теоремы о неявной
функции.
22
ГЛАВА II
§ 11.5. Бифуркация в точке возврата и характеристические квадратные
уравнения
Предположим теперь, что F (¦, •) имеет непрерывные частные производные
четвертого порядка, и покажем, что происходит в точке возврата с касанием
второго порядка. При р = р(е) все производные от ? (е) = F (р (е), е) = 0
равны нулю. Тогда имеем
В точке возврата F = Fe = Ftl = D = 0. В случае (А) Едд^О, Не (ео) = -
(11-14) удовлетворяется тождественно, а (II.15)
принимает вид
Fеее "Ь Зре ((r)о) ^еед ~h Зре (бо) Fедд Ч~ Ре^ддд =
В (II. 16) коэффициент при рЕЕ8 обращается в нуль, и это соотношение
переходит в квадратное уравнение для кривизны р8Е при е0:
F ее + ЗЦе/7 ед + Ре^7 дд+рге^7 д -0, (11.14)
-^Г = ^888 + Зр е^еед + Зр|А едд + р|А ддд +
+ 3рее/7 ед + ЗрЕеРеАцд-фреее/7 = 0, (11.15)
~^Г = F ееее + 4ре F еЕЕд + бр!/7 Еедд + 4р| F Ед№ +
И1 jam-i-ip. "Ь 4рЕЕЕ/7ед "Ь 4рееЕре/7дд+Зр^дд+
+ брег/7 ее^ ЕЕ^ЕДД
+ 6pE8pi/7fiM(i + p8E88/7M=0. (II. 16) Если е = е(р), то /(p)s=/7(p,
е(р)) = 0 и
+ Збд/7 ед + бдЕее + e^Fe = О,
-^- = /7 ддд + Зе^/7 едд + ЗедЕ^ + ед/7 ЕЕЕ +
+ ЗбддЕед + Звддбд/7 8Е + 8Д ^Fe = 0, (II. 17)
~ Fдддд "Ь 4бд/7еддд -{* бе^Ееедд -f- 48д/7ЕеЕд -J-+ ееее ~Н 4вдДдЕЕд -{*
4Вддд6д/7еЕ -(- ЗбддЕее
Т" бвддЕедц 1 Зс^СддЕеед -(- ee^e^fgEE -f- бдддд/7е = 0. (II. 18)
где
(11.19)
и
з;= Р ееее
+ 4реЕ ЕЕ8д -J- бр IF еедд + 4PI/7
8ДДД ~Н РеЕдддд.
БИФУРКАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ 23
Уравнение (11.19) имеет два корня
'Г
РеУ ((r)о) = L
.РеУ ((r)и). ^дд
+
где
В случае (Б) /7ДД = 0,
и
поскольку
ДД
дд?-0 = 0,
(11.20)
(11.21)
ТО /7ед = 0, Fee ф 0
и ец(р0) = 0. Тогда из (II. 17) следует, что = а (11.18) приводится к
квадратному уравнению для кривизны е^р,,):
8u,u,F euu.\ I ! F дддд^
ЬДД
+ 2
=о.
Уравнение (11.22) имеет два корня
о(1)
ьцд
р(2)
ЬММ
(Ро)
(Ро).
ЕДМ
+
где
й>.
= F2 _____________
8)ЩХ
/ FBeF
ее^ МММД
(11.22)
(11.23)
(11.24)
В точке касания второго порядка двух кривых они имеют общую касательную и
разные вещественные кривизны. Отсюда следует, что >0 или >0 в точке
касания второго порядка.
На основе теоремы о неявной функции можно показать, что кривизны,
даваемые формулами (11.20) и (11.23), соответствуют вещественным кривым,
проходящим через точку возврата.
§ 11.6. Тройная точка бифуркации
Мы переходим теперь к случаю, когда все производные второго порядка от F
(•, •) равны нулю в особой точке. Ограничиваясь случаем, когда FWVL^k-0,
перепишем (11.15) в виде
(Ре - рУ') (Ре - Ре4) (Ре -Р?") = Ре + Зр! у*
р.цщ МММ F еец
= 0,
(11.25)
Ц'1Д 1 дди
где pSF, р<,2) И pi3>- значения ре (е) при е = е0. Из (11.25) следует,
что
F еед 1
1.(2)
¦ (p^pj* +p'llp'f4p">pf),
ем. м.
1
(pi-1' + рГ + рё3))
(11.26)
(11.27)
мдд
= - Ре'Р^'Р'е"-
24
ГЛАВА II
Если три корня уравнения (11.25)-вещественные и различные, то через
особую точку (р0, е0) проходят три бифуркационных решения. Если два корня
комплексные, то бифуркации не происходит. Формулы (11.26, 27) удобны при
исследовании связи между характером устойчивости и видом бифуркационных
кривых в тройной точке.
§ 11.7. Теорема о достаточных условиях устойчивости
Одни из бифуркационных решений являются устойчивыми, а другие
неустойчивыми. Для исследования устойчивости решения и -г очень часто
исследуют линеаризованное уравнение
2< = Ее(р, е) Z, (П.28)
общее решение которого имеет вид
Z = enZ0, (IE29)
где
о = F г (р, е). (П.30)
Поскольку все решения (II.28) имеют вид (II.29), то мы
заключаем, что возмущение Z или е растет, если а >
0, и затухает, если
о < 0. Поэтому линейная теория приводит к заключению о том, что (р(е),
е), удовлетворяющее уравнению ^(р, е) = 0, устойчиво, если о<0, и
неустойчиво, если а > 0.
Теперь мы докажем, что заключение, полученное на основе
линейной теории, сохраняется для нелинейных уравнений, если
возмущение
не слишком большое.
Пусть v-возмущение е, и -г-f-y, где
-^- = Е(р(е), е + у)- F (р(е), е) =
= Fe (р(е), е) v+ R(e, у) (II.31)
и
| R (е, у)|</( | v |2, (II.32)
если |у| достаточно мало. Покажем, что вблизи начала у изменяется подобно
Z(t) - e°'Zu, cs = Fe (р(е), е), и стремится к нулю экспоненциально или
экспоненциально растет в зависимости от того, какое из неравенств о < 0
или о > 0 имеет место. Уравнение (II.31) можно записать в виде
4-(иг°0 = Я(е, v)e~°'. (11.33)
Следовательно,
t
0(f)e"J'=st;(O) + $ R(et v($))e~osd$, (11.34)
о
БИФУРКАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
25
и, используя (11.32), находим, что
