Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 11

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 102 >> Следующая

t
|и(0 - и(0)ео< К К J eCT(/-s)|p(s)|(r)ds. (11.35)
о
Покажем, что из (11.35) следует, что v(t)-^--0 при t-* оо, если о(е) <0
и | и (0) | достаточно мало. Предположим, что а < 0.
Тогда
существует т| > 0, такое, что о(е)4-Л < 0- Допустим теперь, что
И^)К X Для всех ^^0. (11.36)
Комбинируя (II.35) и (11.36), находим, что
i
|у(/)-i>(0)?CT(| ^ y\eat ^ e~as\v(s)jds. (11.37)
о
Из (II.37) заключаем
I
|о(0К1"(0)| е°1 + це°( ^ е~а$ \ v (s) | ds. (11.38)
о
Полагая
def "
y(t)=]e-°s\v(s)\ds, (11.39)
о
представим (11.38) в форме
0<г/(0<ИО)| + г,г/(0. У(0) = 0. (11.40)
Умножая (11.40) на интегрирующий множитель е~п и интегрируя, получаем
y(t) е~* < {1 -е~*\ | у (0) |/т]. (11.41)
Возвращаясь теперь к (11.37) и используя (11.41), находим, что
И0-г'(0)елК|и(0)|е,<1+г'''. (11.42)
Неравенство (11.42) показывает, что v{t)-<-0 экспоненциально, если о (е)
< 0, и что неравенство | v(t) | ^ ц/К выполняется для всех t ^ 0, если
|у(0)| достаточно мало.
Мы показали, что (р(е), е) экспоненциально устойчиво, если а(Е) =
/7е(р,(е), е) < 0 и |ц(0)| достаточно мало. Условие на |у(0)| является
причиной того, что решение (р(е), е) называют условно устойчивым. Если бы
на |и(0)| не было ограничений, то мы имели бы безусловную или глобальную
устойчивость. Глобальная устойчивость является редким свойством,
поскольку из него следует, что при фиксированном значении р существует
только одно стационарное решение " = е, которое при данном фиксированном
значении р,
26
ГЛАВА II
притягивает все решения уравнения (11.1). Часто при одном и том же (х
существуют несколько решений, и каждое устойчивое равновесное решение
имеет свою собственную ограниченную область притяжения (см. рис. II.7).
Докажем теперь, что нулевое решение уравнения (11.31) неустойчиво, если о
> 0. Уравнение (11.34) по-прежнему остается в силе. Поэтому если
допустить, что
|о(/)|<е
для всех (^0 и в (11.34) положить /->-оо, то получим
00
и(0) = - /?(е, сi(s))e~asds.
о
Тогда (11.34) можно переписать в виде
оо
v(t) = - ^ R (е, v (s)) ds.
t
Теперь, используя оценку (11.32), имеем
оо
|u(0|</Cea jV(*-s>c(s = -^
t
и 8 должно удовлетворять неравенству
е</Се2/а. (11.43)
Выбирая о{0)ф0 и &<.о/К, приходим к противоречию с (11.43). Поэтому
невозможно удовлетворить неравенству |и(?)|^е для всех t. Следовательно,
решение v(t) покинет фиксированный интервал в момент /0 < -+- оо. Этим
завершается доказательство эквивалентности заключений об устойчивости
нулевого решения уравнения (11.31), выводимых из линейной и нелинейной
теорий.
Замечания. Доказательство теоремы об условной устойчивости в R1
соответствует доказательству классической теоремы Ляпунова для систем в
R" (см., например, Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений.-М.: ИЛ, 1958, гл. 3).
§ 11.8. Теорема о факторизации в одномерном случае
Теорема 1. (Теорема о факторизации.) Для каждого равновесного решения F
(р, е) = 0, для которого |х = |х(е), имеем
del def
о(е)=Ае(р(е), е) = - ре(е)АДр(е), е) = -рео(е). (II.44)
БИФУРКАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
27
Доказательство теоремы 1 следует из уравнения
dF (^(е8)' е- = Fe ([А (е), 8) + Ре (е) (р (е), е) = 0.
Этот тип факторизации может быть установлен для анализа устойчивости
бифуркационных решений в пространствах более сложных, чем К1. Однако эта
теорема наиболее проста для понимания в К1. Одно из основных следствий
теоремы о факторизации состоит в том, что о (е) должно изменять знак,
когда е проходит значение, соответствующее регулярной экстремальной
точке. Отсюда следует, что решение и -
=е, р = ц(е) устойчиво с одной стороны от регулярной экстремальной точки
и неустойчиво с другой стороны (рис. II. 1).
Следствие 1. (А) Всякая точка (р0, е0) кривой ц = ц (е), для которой
о(е0) = 0, является особой точкой. (Б) Всякая точка (р0, е0) кривой е(р),
для которой о (р0) = 0, является особой точкой.
Доказательство утверждения (А) следует из (11.44), а доказательство
утверждения (Б)-из соотношений
HF
о(р) = /7е(р, е(ц)), -=^+8^ = 0. (11.45)
§ И.9. Эквивалентность строгой потери устойчивости и двойной точки
бифуркации
Исследование устойчивости мы связываем с исследованием бифуркации в
предположении о "строгом пересечении", введенном Хопфом1) и используемом
почти во всех работах по бифуркации и устойчивости. Это предположение
ограничивает исследование бифуркации двойными точками', точка возврата и
особые точки высокого порядка исключаются.
1) Hopf Е., Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren
Lo-
sung eines Differentialsystems, Berichten der Mathematisch-Physischen
Klasse der
Sachsischen Akademie der Wissenschaften zu. Leipzig, XCIV, 1 - 22 (1942).
Англий-
ский перевод этой статьи, выполненный Л. Н. Ховардом и Н. Коппель, можно
найти в книге Дж. Марсдена и М. Мак-Кракена (см. литературу к гл. I).
Рис. II. 1. Смена устойчивости в регулярной экстремальной точке.
28
ГЛАВА И
Следствие 2. Пусть (fx0, е0)-особая точка и (А) ое(е0)#0 или (Б) (р0)
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed