Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 20

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 102 >> Следующая

называется неустойчивым узлом (см. рис. IV. 1).
Рис. IV.2. Траекюрии вблизи равновесной точки в R2 для комплексного о;
(р). (а) Устойчивый фокус, | (р) < 0; (б) Неустойчивый фокус, g (р) > 0.
(2) о.,(р) = 1у(р) и it(p) и |а(р) имеют разные знаки. Тогда 0 есть
седловая точка, одна из двух траекторий приближается к 0, а другая уходит
от 0 (см. рис. IV. 1). Седловая точка всегда неустойчива.
(3) Два собственных значения комплексные:
чающий ста, и пусть \j = e°jtxJt J= I, 2. Тогда
(IV.22)
a
б
в
а
б
<7i = ?(P) + *T1(P) = CT2, а собственные векторы обладают свойством = va.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ И W-MEPHOM СЛУЧАЯХ 57
Общее решение (IV.3) принимает вид
v (t) = Re (ае°>( vx) = V2 [ае0^ vx + ае°'! v2].
Это решение можно также записать в форме
v(/) = eS(M.K [Re (аух) cos (14 (р) t) - ImtavJsinO^p) <)]• (IV. 23)
Траектории (IV.23) показаны на рис. IV.2. Точка v = 0-устойчивый фокус,
если |(р)<0, и неустойчивый фокус, если t (р) > 0.
§ IV.7. Критическое значение и строгая потеря устойчивости
Будем предполагать без ограничения общности, что и = 0 устойчиво (| (р) <
0), если р < 0, и неустойчиво (| (р) > 0), если р > 0. Значение р = 0
является критическим. Для критического значения
(|(0), Л(0), о (0)) = (0, ю0, io)0). (IV.24)
Будем говорить, что потеря устойчивости и = 0 является строгой, если
П°)=4[Г>0- (IV-25>
и напомним, что в IR1 это условие приводит к двойной точке бифур-
def
кации. Обозначим (-)' = d(-)/dp. Тогда, предполагая, что стих
дифференцируемы, найдем в результате дифференцирования (IV.20):
А (р)-х' + А' (р)-х = (т'х + (тх'. (IV.26)
Построим теперь скалярное произведение (IV.26) и присоединенного
собственного вектора, соответствующего собственному значению ст, и
заметим, что
<А-х', у> = <х', Аг у> - <стх', у>,
и поэтому
а'<х, у> = <А' х, у>, (IV.27)
где
гд',пу|- а" Ь'^У 1А (НД - [с'(^) d'(p)_'
Формула (IV.27) справедлива для простого собственного значения ст(р). В
полупростом случае два различных собственных вектора хх и х2
соответствуют одному и тому же а, и для нахождения о' (р) дополнительно
необходимо найти линейные комбинации хх и ха, для которых выполняется
уравнение (IV.26) (собственные векторы А' для р = 0). Уравнение (IV.27)
не имеет смысла, если а-кратное собственное значение с индексом Риса,
большим единицы; в этом случае <х, у> = 0 для всех собственных векторов и
невозможно произвести нормировку так, чтобы <х, у>=1.
58
ГЛАВА IV
Строгое пересечение в случае простого собственного значения означает, что
a'(0) = <A'(0)-x1, у2>, Rea' (0) > 0, (IV.28)
если собственное значение с наибольшей вещественной частью удовлетворяет
условию ii (0) = 0.
Возможные способы пересечения собственным значением а(р) прямой | = 0 в
простом и полупростом случаях показаны на рис. IV.3.
Возмущение а (р) при р = 0, когда a (0)-двукратное собственное значение с
индексом два (не полупростое), носит специальный характер, потому что,
вообще говоря, а(-) не дифференцируема при
ш.
0
-Wo
,а(д)
o(fi)
L(n)
Рис. IV.3. Направления строгого пересечения li(0) = 0, (0) > 0 в
простом (а, б)
и (полупростом (в, г) случаях, (а) Два собственных значения вещественные
и различные; !х(0) = 0. (б) Пересечение мнимой оси парой комплексно-
сопряженных собственных значений, (в) Два вещественных собственных
значения пересекают мнимую ось одновременно, однако могут иметь разные
скорости (или разные направления), (г) Два комплексно-сопряженных
собственных значения проходят через ось ц, взаимно пересекаясь.
р = 0: а(0) представляет собой алгебраически двойное собственное значение
с индексом два, если Д = 0 и U| + |ft| + |c|^t0. Здесь могут быть три
случая; (1) ЬФ 0, c = q = 0; (2)сфЬ, b - q - 0;
(3) с, b, q отличны от нуля и q2-\-bc - Q. Эти три случая эквивалентны,
так как соответствующие им матрицы А(р) получаются одна из другой
посредством преобразования подобия.
В качестве канонического возьмем случай (1) и запишем
[А (р)]:
0 г а' (р) 6'(р)
0 0 / (I*) d'( р).
(IV.29)
где а', Ь', с' и d' ограничены при р = 0. Два собственных значения А(р)
определяются квадратным уравнением
det
-a + pa' Vе'
+1Ж'
-о -ф р d
¦о2-ap (a' +d')-)-p2a'd' -
-рс' (1 -фрй') = 0.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ И Л'-МЕРНОМ СЛУЧАЯХ 59
Поэтому
о± (р) = 1/2р {a' + d') ± Кр2 [(а' -}-d')2/4-a'd' +b'c'] + рс' =
= ± Кр? + V# (a' + d') + 0 (р2/3), (IV.30)
где следует взять одно из двух значений Крс'. Мы видим, что ст± (0) = 0,
и отметим, что |da± (0)/dp | = оо, однако da/d р = ±Ус', если с' и р > 0.
Существуют два собственных значения, и они являются комплексными, если
рс'< 0. Поскольку всегда существует положительное собственное значение,
если рс'> 0, то заключаем, что и = 0 неустойчиво, когда |р| мало и рс'>
0. Так как при рс'> 0 имеет место неустойчивость, то устойчивость
возможна только при рс'< 0, тогда Крс'-чисто мнимая величина и
устойчивость определяется знаком p(a'-j-d'). Если с'> 0, то и = 0
неустойчиво для малых р>0 и устойчиво для р < 0, если a'-fd'>0. Решение и
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed