Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
а устойчивость бифуркационного решения определяется собственными
значениями у,(е), а именно членами, имеющими порядок р(е), или членами
порядка 0(e), так как величина (-рср),/2 чисто мнимая. Если рс" < 0, то
бифуркационное решение неустойчиво, в то время как устойчивость нулевого
решения определяется членами порядка (I в и, (р).
Пусть (at, + d'0) сё < 0 и Со > 0. Тогда нулевое решение устойчиво при
р<0 и неустойчиво при р > 0. (Обратное верно, если с'" < 0.) В этом
случае бифуркационное решение неустойчиво при р < 0 и может быть
устойчивым или неустойчивым при р>0 в зависимости от коэффициента при е в
уДе) (см. рис. V.1). Обращаем
74
ГЛАВА V
внимание читателя на то обстоятельство, что ни нулевое решение, ни
бифуркационное решение не могут быть устойчивы с обеих сторон от
критического значения.
Если А,0 = 0 и рее (0) =7^=0, то бифуркация является односторонней и
определение характера устойчивости зависит от особенностей конкретной
задачи.
§ V.7, Бифуркация и устойчивость стационарных решений
в форме (V.2) в двойном собственном значении (полупростом) с индексом,
равным единице1)
Здесь и в § V.8 нас будет интересовать бифуркация и устойчивость
стационарных решений при условиях (3) из§У.2. Эти условия состоят в том,
что а(0) = 0-двойное собственное значение (полупростое) с индексом,
равным единице. Из этих условий следует, что a0 = bo = co = dn = 0.
Бифуркационные решения можно искать как в форме (V.2), так и в форме
(V.3). Если решения в обеих формах существуют, то они эквивалентны и
можно переходить от одного к другому: (р, M,(p), ы2(р)) Дг;(еЦе), е,
ег/(е)). Здесь мы исследуем форму (V.2), а в § V.8 рассмотрим решение в
форме (V.3).
Стационарные решения (V.2) определяются как корни к (г), у (г) двух
нелинейных уравнений
gt(K е, y) = lL^_?iA = 0, /= 1, 2, (V.20)
где
gi ft, е, у) = к (а' -\-Ь'у) + а, + 2^!# + Yj!/2 -\-0 (е), (V21)
gs(^> 8, у) = к(с'+d'y) + a2 + 2fi2y + y2y2 + 0(e).
Мы разыскиваем решения (V.20), которые ответвляются в (е, к, у) = = (0,
Я0, у0). Отсюда следует, что
gi(^o. 0, у0) = А0 (а0 + Ьсу") + а10 + 2(3,0у0 + у10Уо = 0, ^у
22)
^>2 (^о* (/о) " *0 "Е Уь) ~Е "Е 2Р2оУо "Е Уго(/о " 0*
J) Эта задача исследована Д. Б. Маклеодом и Д. Г. Саттингером (Loss of
stability and bifurcation at a double eigenvalue, J. Functional Analysis,
14, 62 (1973). Задачи с кратными полупростыми собственными значениями
возникают в бифуркационных задачах, в которых происходит разрушение
пространственной симметрии (см. книгу Саттингера, включенную в список
литературы в конце гл. I). Часто случается, что собственные значения,
зависящие более чем от одного параметра, являются полупроаыми только при
специальных соотношениях между параметрами. Поэтому представляется
интересным исследовать, что происходит, если параметры изменяются таким
образом, что кратные собственные значения расщепляются. Этим способом
можно даже обнаружить вторичные бифуркации (см. пример V.6 и упр. V.6 в
конце этой главы).
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 75
Можно гарантировать бифуркацию, используя теорему о неявной функции в R2
(см. дополнение V. 1), если
det J О,
где матрица J определяется выражением
~ dgi dgx
д'К ду
dgj д^
_ дХ ду
ао + ь0у0 21^ 0 + 2 yi0yll-\-'k0b0
со + d0!/0 2|32о -I- 2уаог/0 + X0d0
(V.23)
(V.24)
при (е, %, у) = (О, Х0, у0).
Устойчивость (ц(е), их (б), и% (е)) = (ек (е), е, ыу (е)) может быть
исследована на основе анализа собственных значений матрицы
КСо '
; + 2a10 + 2,5l0t/0 1 + 2а20-Ь2р20г/0
def
= eJ0 + O(e2).
+ 2р]0-|- 2у10(/0
v;+2p 20
+ О (е2) =
(V.25)
Если в мало, то можно установить характер устойчивости по знаку
вещественных частей двух собственных значений матрицы J0.
Теперь обратим внимание читателя на большое различие между задачей
бифуркации в исследуемом здесь полупростом случае (3) и в ранее
рассмотренных случаях (1) и (2) бифуркации в простом собственном значении
и в двойном собственном значении с индексом, равным двум. В двух
последних случаях f{ = sglt где gx и g2 тождественно не равны нулю при е
= 0. Тогда члены наименьшего порядка пропорциональны е и приводят к
линейным уравнениям (V.7) или (V.15), из которых единственным образом
определяется у0 или Х0. В настоящем, полупростом случае, fi = e,2glt где
gx и g2 отличны от нуля при е = 0. Члены наименьшего порядка
пропорциональные2 и приводят к нелинейным уравнениям. Из этих нелинейных
уравнений мы иногда можем получить несколько бифуркационных решений.
Для того чтобы показать, как задача с полу простым собственным значением
приводит к кратным решениям, заметим только, что (V.22) эквивалентно
кубическому уравнению % (у0) = 0 относительно у0, если ^оУю где
? Ы = (с'о + й'оУо) ("10 + 2|310у0 + у10Уо) - - (ц0 + Ку0) (аао + 2Ра0!/0
+ УмУ1).
(V.26)
Это уравнение имеет или три вещественных корня, или два вещественных
корня, один из которых кратный, или один трехкратный вещественный корень
(см. рис. V.2).
