Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
76
ГЛАВА V
Для каждого простого вещественного корня у№ кубического уравнения $(г/0)
= 0 можно построить бифуркационное решение (>Д] (е), ?/1*3 (е)) в виде
ряда по степеням е. Так как то может
быть 1, 2 или 3 решения с различными бифуркационными кривыми
№*3 (е), как показано на рис. V.3. Для того чтобы получить коэффициенты
степенных рядов, необходимо произвести повторное дифференцирование (е),
е, у[к\(е))
по 8 при е = 0. Например, можно вычислить dUk 1 (0)/d& и dyW (0)/de из
двух уравнений (/ = 1, 2)
dgj W 0, ,
де "т"
, Л[Ч вй(х№, о, i,t4) w дХ
3 вещественных корня
2 вещественных корня
de
dgi dyl
I*]
ду de
¦ (0) = 0.
Рис. V.2. Число решений, которые могут ответвляться от е = 0 в двойном
полупростом собственном значении и соответствующие корням кубического
уравнения (ё(у[>)= 0, если dо-ум- &0У20 Ф 0.
Вторые производные
(dyW/de) (0) и (dUkydE) (0) можно вычислить, дифференцируя g дважды, и т.
д.
Распределение устойчивости решений, которые разветвляются в полупростом
случае, носит сложный характер. Здесь могут иметь место самые
разнообразные случаи (см. § V.9).
§ V.8. Бифуркация и устойчивость стационарных решений (V.3) в полупростом
двойном собственном значении
Бифуркационное решение (V.3) можно получить непосредственно из (V.2) или
же его можно построить применением процедуры, которая использовалась для
(V.3). При этом примем во внимание, что
'¦bn = cn = d0 - 0, и определим
л def
"1 =
л def
/1 (М1" ^1" ^2) "
ft (р. "1. ы")
0,
(V. 27)
где / = 1, 2, и
/,(р, uj, u2) = a'u1 + b'u2 + altil + 2piu1u2 + y1ul + 0{\\i\), f2(p, "j,
Ma) = c'"i + d'a2 + as"J + 2p2a1"2 + y2"H-0(|p|),
(V.28)
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 77
а а', Ь', с', d', а,, |Зг, уг суть функции от р. Если
р = 0, то уравнения f[(0, "10, ы20) = 0 описывают конические
сечения:
А def я
/lO = /l()(0> ^1(Н ^2о) =
- QqU-iq -Е "Е OCioW10 ~Е 2Pi0"10"20 ~Е Ym^20 ^ t),
~ def " " " (V.29)
/2" = /2(^1 ^Ю> ^2с) =
" CfjUio + d0W20 ~Е ^20^10 "Е 2^20^10^20 "Е ^20^20 = О*
Бифуркационные решения получаются как точки пересечения двух конических
сечений. Эти конические сечения пересекаются в ("j, "2) = (0, 0) при
любом р. Кроме начала существуют самое
Рис. V.3. Бифуркационные кривые, когда уравнение g(y0)=0 имеет три корня
и выполняется (V.23) для каждой пары X,kI (0), y[ki (0).
большее три других решения (см. рис. V.3). Точки пересечения (У.29)х и
(V.29)2, отличные от (0, 0), соответствуют корням кубического уравнения %
(у0) = 0 (V.26). В дополнение к (0, 0) существуют или три решения, или
два решения, или одно решение (см. рис. V.4). Уравнения (V.7) связаны с
приведенными здесь уравнениями преобразованием (р, иг, "2) = (еА,, 1 /X,
у/К).
Связь между существованием и устойчивостью бифуркационных решений,
которая упоминалась в § V. 1, имеет особенно прозрачную форму в
параметризации (V.27). Сначала заметим, что 'f (р) = = Е^о + 0(Е2) и
det f = р2 det + 0 (| р |3),
78
ГЛАВА V
где
о го 1 d/ю П
duiQ ди2а
д/20 д/20
_дмю ди2о _
Устойчивость решений (V.3) по отношению к малым возмущениям
определяется знаком вещественных частей собственных значений
Три решения
Рис. V.4. Бифуркационные решения вида (V.3) соответствуют точкам
пересечения двух конических сечений (V.28). Бифуркация гарантируется
теоремой о неявной функции, если решениям соответствуют тчки пересечения,
а не точки касания.
Yi (Р)> Тз (Iх) матрицы (р). Если р мало, то
(Yi(P). Ya(n)) = MYio. Yao)+o(p),
гДе (Via. Y20)-собственные значения ^0. Решения (V.3) уравнений /г(р, иг,
и2) - 0 устойчивы, когда р>0 мало, если Rey10<0 и Rey2o<0. Если же Rey,,,
>0 или Rey2O>0, то решения (V.3) неустойчивы.
Теорема о неявной функции гарантирует существование бифуркации для р,
близких к нулю, если удовлетворяются уравнения (V.29) и
det^0 = y10y20 ф0. (V.30)
Это условие не выполняется в точке касания (см. рис. V.4). Если det^0<0,
то или у1О>0, или у20 > 0, и одно из двух собственных значений
У.(Р) = УюИ + 0(|р|2) (V.31),
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 79
ИЛИ
У2(ц) = У?оИ + 0(И2) (V.31),
будет положительным, когда | р | мало. Поэтому отсюда следует, что
бифуркационное решение (V.3) неустойчиво с обеих сторон от критического
значения, если det < 0 (как на рис. V. 1(6)).
Если у10 вещественное и det^0<0, то у10 и у20 одновременно положительные
или одновременно отрицательные. Тогда уравнение
Рис. V.5. Распределение устойчивости, когда det > 0, а собственные
значения вещественные. Здесь e = "j или е = и2. В (а) суперкритическое
решение неустойчиво, а субкритическое решение устойчиво.
(V.31) показывает, что бифуркационное решение устойчиво с одной стороны
от критической точки и неустойчиво с другой ее стороны (см. рис. V.5).
Случай, когда у2о = Ую комплексное, не столь очевидным образом связан с
^0. В этом случае двойное собственное значение расщепляется на пару
комплексно-сопряженных, как на рис. IV.3 (г) (где следует заменить о на
у). В этом случае, если Rey10 = Rey2O^0 (след 'У'ъФ 0), мы имеем тот же
