Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
тип анализа устойчивости, что и на рис. V.5.
§ V.9. Примеры анализа устойчивости в двойном полупростом (с индексом,
равным единице) собственном значении
Дадим теперь некоторые простые примеры, в которых два конических сечения
пересекаются или в четырех точках (включая начало), или в двух различных
простых точках, не лежащих в бесконечности (см. упражнения для других
случаев). Ограничимся, кроме того, случаем, когда нулевое решение
устойчиво при р < 0 и теряет устойчивость при р > 0
Пример V.1
diii • о , о
-^- = рп1-рц2-ui + щ,
du" ,
- =рц2-|-Ulu2.
80
ГЛАВА V
Конические сечения § V.8 пересекаются в точках (0, 0), А = (1, 0), В = (-
1, 2), С = (-1, -1). Линейная теория устойчивости может быть применена
для каждой точки.
Находим, что (0, 0) есть узел (устойчивый при р < 0 и неустойчивый при р
> 0), а р/4, рВ, рС представляют собой седловые точки, и поэтому
бифуркационные решения неустойчивы с обеих сторон от р = 0.
3p"j-5ры2 - и\-\-и\,
2р"!-ирхг.
Конические сечения § V.8 пересекаются в точках (0, 0) и А = (0, 5).
Начало и бифуркационное решение рА являются фокусами с одним и тем же
характером устойчивости. (Устойчивые при р < 0 и неустойчивые при р > 0.)
Пример V.3
•^- = 3рн1-Зр"2-и\А-и\,
duо
- №и1
Конические сечения § V.8 пересекаются в точках (0, 0), А = (2, 1), В =
(0, 3), С = (1, 1). Бифуркационное решение рВ и начало являются фокусами
с одинаковым характером устойчивости (устойчивые при р < 0 и неустойчивые
при р > 0). Бифуркационное решение рА представляет собой узел, устойчивый
при р > 0 и неустойчивый при р<0, а решение рС есть седловая точка,
неустойчивая как при р > 0, так и при р < 0.
Пример V.4
du, 9
= _2рн, + 2pu2 + и,и2-и\.
Конические сечения § V.8 пересекаются в точках (0, 0), А = (-1, 2), В =
(0, 2), С = (1/2, 1/2). Бифуркационное решение рВ представляет собой
узел, подобный началу, но с противоположным характером устойчивости
(устойчивый при р>0 и неустойчивый при р < 0). Два других бифуркационных
решения представляют собой седловые точки (неустойчивые как при р > 0,
так и при р < 0).
Пример V.2
dui
dt
du2
dt
УСТОЙЧИВОСТЬ бифуркационных решений в ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 81
Пример V.5
du-,
-1^ = ри2 + и1и2,
= - №1 + М-"* + >А + и\
Конические сечения § V.8 пересекаются в точках (0, 0) и Л = (1, 0).
Начало является фокусом (устойчивым при р < 0 и неустойчивым при р > 0),
а бифуркационное решение рЛ представляет собой седло (неустойчивое как
при р < 0, так и при р > 0).
Комментарий к примерам V.1-5. Некоторые общие свойства устойчивости
бифуркационных решений можно установить из следующей геометрической
интерпретации задачи на собственные значения для ^0. Рассмотрим точки
пересечения двух конических се" чений
/10 (^10> ^2о)~0, ?20 (^10> ^20) = 0
и предположим, что во всех таких точках не происходит взаимного касания
кривых. Тогда
d/20 df го д/m dj20
det
duiо ди20 ди20 дию = (V?ioAV/2o)'^= YioY2o>
где k = if\j, i и j-ортонормированные базисные векторы, направленные
вдоль координатных осей, а
vf - ( d/го д/го \ '10 ди10 ' ди20 )
- вектор градиента fla в точке пересечения и, следовательно,
ортогональный коническому сечению (/го = 0)-
Каждое коническое сечение имеет однозначную кривизну (кривизна равна
нулю, если коническое сечение является произведением прямых), поэтому
если взять две последовательные (невырожденные) точки пересечения на
одной регулярной дуге какого-либо из этих конических сечений (см. рис.
V.6), то векторы V/10Avf2o будут иметь противоположные направления в этих
Рис. V.6. точках.
Для случая пересекающихся гипербол мы должны проводить различие между
случаем, когда асимптоты гипербол перемежаются, как на рис. V.7, и
противоположным случаем, представленным на рис. V.8. По этим рисункам
замечаем, что знаки det в точках пересечения
82
ГЛАВА V
=(2)
Направления асимптот (2) (2)
(включая начало) имеют следующие распределения;
1) (+. + , +, -), или (-, -, -, +), или (+, +), или (-, -) для двух
гипербол с перемежающимися асимптотами и
2) (+, +, -, -) или ( + , -) в другом случае.
Этот результат строго доказан в статье Маклеода и Саттингера (1973)
(ссылку см. в § V.7).
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 83
В примере V.1 определитель имеет знаки (+, -, -, -), в примере V.2-знаки
(+, +), в примере V.3 (+, + , + , -); при этом во всех примерах началу
приписывается знак "+".
В примере V.5 знаки имеют распределение (+, -), тогда как для примера V.4
имеем (-f, + , -, -), где началу соответствует знак "+".
Устойчивость решения, для которого якобиан имеет знак "+", остается
неопределенной, и из этих результатов нельзя установить
Бифуркация Хопфа (см. гл. VII и VIII)
, 'L(+,+)
/(-,+)-Л Н-.+)
+)
Рис. V.9.
связь между устойчивостью различных решений, для которых якобиан имеет
знак "+".
Пример V.6. Рассмотрим дифференциальную систему в R*
dr. 2
- -xl-2хххг,
-^Г = (р-о) х2 + х,х2 + xt,
где а-фиксированный параметр, а р-бифуркационный параметр. Если а = 0, то
