Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
функцию Ч*- можно было разложить в ряд по "пробным" функциям ф,,, то тем
самым мы наложим па Ч/ граничные условия, характеризующие задачу.
Собственно говоря, мы именно так и поступали в моделях ПСЭ и ЛКАО:
разлагали искомую волновую функцию по подходящим пробным функциям,
подставляли в дифференциальное уравнение Шредингера, получали секулярное
уравнение, требуя, чтобы такое представление волновой функции было
решением уравнения Шредингера.
Но мы можем поступить н иначе: написать общее выражение для Ч*- через
решения уравнения Шредингера для произвольной анергии, а затем
потребовать гладкой сшивки этого выражения с разложением по пробным
функциям, удовлетворяющим граничным условиям. Ясно, что это тоже будет
эквивалентно наложению граничных условий на волновую функцию.
2. Построение секулярного уравнения. Применим предлагаемый нами метод
к задаче о зонной структуре бесконечного моноатомного кристалла,
состоящего из одинаковых МТ-потен-циалов.
]) Автор пользуется случаем выразить благодарность проф. А. А. Кац-
нельсону и проф. В. JI. Бонч-Бруевичу за полезные обсуждения материала
этого параграфа.
§ 16. ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 209
Внутри каждой МГ-сферы волновая функция ? является суперпозицией решений
радиального уравнения Шредингера
?(г) = 2С^,(г)Уг(г). (5.46)
ь
Это выражение полностью аналогично (5.30).
Для кристалла граничным условием для Чг является теорема Блоха (1.2).
Следовательно, разложение ? по плоским волнам Ik + g"> есть условие
подчинения Чг периодическим граничным условиям:
<5-47)
V О П
Это выражение совладает с (5.1), (1.18).
Мы имеем два выражения для 4я. Следует потребовать, чтобы они гладко
переходили одно в другое (гладко сшивались) в некоторой точке
координатного пространства. Конкретное значение этой точки, вообще
говоря, произвольно и долЯ\Но подбираться
так, чтобы условия сшивания выполнялись оптимальным образом.
Используя разложение (2.32), представим (5.47) в виде
? (г) = ^ \%Вп!гк (и, г)] Yl (г). (5.48)
L п
Из (5.46) и (5.48) имеем
CL&i (г) = 2jBnhL(n, г), (5.49)
П
CiM'i (г) 2] впfiL (П, г), (5.50)
П
где штрих означает дифференцирование по координате. Поделим (5.50) на
(5.49). После приведения подобных членов получим
2 (/"? (п, г) - Я, (Е) hL (п, г)) Вп = 0, (5.51)
П
здесь введена логарифмическая производная Я;, обычная в теории рассеяния,
и все функции для простоты взяты на границе действия МТ-потепциала, т.
е. при r - R. На самом деле, в силу независимости пары уравнений
(5.49), (5.50) для каждого I от подоб-
ных пар для остальных I, ясно, что для каждого I можно проводить сшивку
l-х компонент при "своем" значении радиуса сшивания Ri. Эти радиусы
являются вариационными параметрами метода, как, например, точки Андерсена
(см. § 13.6).
Введем матрицы Я, Я, Я и вектор-столбец В:
Hlh - hL (п), HLn - hL (п), Kll' - hi&LL>-
Тогда система уравнений (5.51) примет вид
(Я-ЯЯ)Я = 0. (5.52)
14 л. И. Ястребов, А. А. Кацнельсон
210
ГЛ. 5. СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПСЕВДИЗМ
Условие существования ненулевых Вп приводит к СУ
det|tf-)J7l=0. (.5.53)
Это СУ удовлетворяет критерию пустой решетки: при бесконечно мелком МТ-
потенциале &h = /ДгУЕ) и при выполнении равенства Е = е" для какого-либо
п детерминант в (5.53) автоматически обращается в нуль.
Система уравнений (5.52) может быть преобразована к виду
(S-k)CL = 0, (5.54)
где введены новые коэффициенты, Cl = Cl&i, и использовано
(5.49). Здесь введены структурные константы
S = HH-\ (5.55)
которые имеют явное выражение:
Sll' = 2 h'L (") (")' <5-56)
П
Здесь Жь' (п) - алгебраическое дополнение матричного элемента hL'(n) в
матрице Н. Можно сказать, что величина SLLi det Н есть такой детерминант
матрицы Н, в котором строка с элементами hu (п) заменена на строку с
элементами hL{n), т. е. как бы "изменилось местоположение штриха в hub.
Условием существования ненулевых Cl служит СУ
det | Sll' (k) - %i (E) 8ll> | = 0. (5.57)
Это СУ имеет вид, отчасти напоминающий СУ ККР. Действительно, в этом СУ
существуют отдельно "потенциальная" и "структурная" части, Ki и Sll>
соответственно. Структурные константы SLLr зависят только от волнового
вектора к, но не от энергии Е, чем выгодно отличаются от структурных
констант метода ККР. Эти структурные константы могут быть табулированы
для данного типа кристалла так же, как и структурные константы метода
ККР. Энергия Е входит только в диагональные матричные элементы, что
облегчает решение СУ.
Однако матрица S неэрмитова: S+Ф S*; это можно доказать строго.
Следовательно, наряду с достоинствами данное СУ имеет и недостатки: при
расчетах на ЭВМ матрицу S приходится хранить в памяти ЭВМ целиком, что
неудобно. Кроме того, само вычисление матрицы S требует оперирования с
большими неэр-митовскими матрицами Н, заведомо большого порядка,
поскольку размерность этих матриц обусловлена числом членов в разложении
(5.47), по определению большим. Наконец, не вполне понятно, почему СУ
(5.57) неэрмитово, и не может ли это привести к комплексным значениям для
