Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г (Ed) ~ El12 ~ а~5. (5.28)
Поскольку энергетическое положение квазисвязанного состояния обусловлено
положением аналогичного связанного уровня в атоме, Г изменяется при
переходе от одного металла к другому вдоль периода таблицы Менделеева
подобно тому, как меняется атомный уровень. Изменение последнего было
проиллюстрировано на рис. 1.11. Таким образом, мы можем сделать вывод,
что d-зоны вдоль периода понижаются и сужаются. Исключение представляют
металлы середины периода, имеющие атомную конфигурацию dV, приводящую к
подъему уровня вверх и, соответственно, к расширению d-зоны. Это
проиллюстрировано на рис. 1.28.
Вид СУ ККР (5.25) означает, что в первом приближении зонные структуры
металлов с одинаковой кристаллической решеткой подобны, а отличия в них
могут быть отнесены за счет различных межатомных расстояний. В следующем
приближении уже надо учитывать разницу в кристаллическом потенциале. Рис.
1.28 иллюстрирует и этот вывод.
Вид СУ (5.25) позволяет сделать заключения о зависимости зонной структуры
от давления при однородном сжатии кристалла. Действительно, по (5.22)
положения всех энергетических уровней (Е ~ Еа~г) изменяются
пропорционально а-2. В нервом приближении ширина d-зоны при всестороннем
сжатии растет обратно пропорционально квадрату параметра решетки, а в
следующем приближении, по (5.28),- обратно пропорционально пятой степени.
Численный эксперимент [372] подтверждает зависимость а-5, впервые
отмеченную из других соображений в [294]. Ясно также, что все уровни
кристалла будут при сжатии повышаться, что приведет к повышению полной
энергии, а это "невыгодно". Следовательно, с ростом давления будет
возрастать вероятность фазового перехода в другую кристаллическую
модификацию, в которой энергетические уровни будут расположены так, чтобы
полная энергия была меньше.
Таким образом, мы видим, что исследование одного только математического
аппарата зонной теории позволяет сделать вы-
200
ГЛ. 5. СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПСЕВДИЗМ
воды о физических аспектах теории кристаллов. С подобным фактом мы уже
сталкивались в § 3 при обсуждении псевдизма в таблице Менделеева. Метод
ККР является естественным обобщением метода псевдопотенциалов теории
рассеяния на случай бесконечного числа таких рассеивателей.
х
Рис. 1.28. Зонная структура ОЦК (верхняя серия) и ГЦК переходных
металлов.
Поэтому представляет интерес построить СУ ККР точно тем же способом,
каким в случае изолированного рассеивателя мы получали выражение для
сдвигов фаз: с помощью интегрального уравнения (2.4).
6. Формализм функции Грина. Волновая функция электрона в кристалле
может быть, как и в случае изолированного потенциала, представлена в виде
суперпозиции решений радиального уравнения Шредингера 9h. Существование
других, тождественных данному, рассеивателей должно быть учтено
наложением на
§ 15. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА (МЕТОД ККР)
201
волновую функцию соответствующих граничных! условий. Интегральное
представление уравнения Шредингера (2.4) с помощью функции Грина тем и
удобно, что позволяет вводить граничные условия непосредственно в
уравнение, если функция Грина вычислена с учетом соответствующих
граничных условий.
Излагаемый ниже простой аппарат метода функции Грина может быть применен
к любой бесконечной системе рассеивателей; мы будем использовать
выражение (5.16), которое справедливо как в случае упорядоченного, так и
в случае неупорядоченного кристалла, но нигде не будем использовать
требование периодичности решетки. Подчеркнем еще раз, что единственное
модельное представление этого параграфа - ограниченность радиуса действия
потенциала. Весь формализм ККР - просто развитие аппарата теории
рассеяния, изложенного нами в § 1.
В бесконечном кристалле пет падающей волны. Действительно, кристалл
заполняет все пространство; свободному ранее электрону, влетающему
откуда-то в кисталл, просто "неоткуда взяться". Это - очень важное
замечание; оно означает, что в; уравнении (2.4) не должно быть решения
однородного уравнения ф, поскольку его отсутствия требуют граничные
условия.
Итак, имеем для Ч*1 интегральное уравнение:
Ч! (г) = j G (г, гх) V (rx) W (гх) <73гх, (5.29)
где V - одноузельный потенциал, a G - функция Грина "пустого кристалла":
G = 2 (r - ri - М-
V
С другой стороны, как мы говорили, V равна суперпозиции решений
радиального уравнения Шредингера (веса этой суперпозиции должны быть
определены с помощью уравнения (5.29)):
xV{r)^^CLMi{r)YL{t). (5.30)
Подставим (5.11), (5.30) в (5.29) и проведем интегрирование по углам:
R
ClMi (Г) = 2 CLЛ Gll> (г, гх) V (гх)Яг (rx)r*dfx. (5.31)
L' о
Будем считать, что г несколько больше R - радиуса действия потенциала.
Тогда функциональный вид Gll', зависящий от г< и г>, не меняется при
интегрировании в (5.31) по rt (поскольку г, 7? г).
Рассмотрим интеграл в (5.31). С помощью радиального уравнения выразим V9h
через дифференциальный оператор, а затем
202
ГЛ. 5. СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПСЕВДИЗМ
