Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда мы получаем простое СУ, которое в литературе часто называют
секулярным уравнением метода линейной комбинации МТ-орбиталеп (JIKMTO пли
J1MTO) [384-389]:
lhL(n)hL,(n) t bLL,
det
R*X
X, (/'.) - l/R
= 0. (5.72)
Это СУ впервые было получено Андерсеном [233J в приближении атомной
сферы, с R = Ra.
Рассмотрим связь СУ ККР (5.68) с СУ (5.57). Введем формально в
рассмотрение величину фы/ :
Фи/ = - arctg
- All' (F, /c)J. (5.73)
Перепишем СУ (5.68) в виде
det | ctg q>LL, - 8Ll' ctg тр | = 0. (5.74)
214
ГЛ. 5. СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПСЕВДИЗМ
С другой стороны, определение (5.73) позволяет записать выражение для
структурных констант 5ы/ в виде
S - HH~l = GG~l = (/ - N tg (ф))(/ - N tg (ср))-1, (5.75)
где введены матрицы (точка означает дифференцирование по г):
?LL' - U (fR) &LL'\ f LL' - jl&LL'',
N LL> = ^LL'! NlL' = n$LL'-
Выражение (5.75) является матричным обобщением обычного определения
логарифмической производной волновой функции через тангенс фазы рассеяния
(ср. с (2.67)):
А/ = tt'iftT1 = (/г - Щ tg 11г) (/г - Щ tg Чг)_1- (5-76)
Таким образом, матрица S есть некоторая матричная "логарифмическая
производная", причем свойства S целиком обусловлены свойствами
кристаллической решетки. Из (5.73) ясно, что Фг,ь> имеет смысл фазового
сдвига, обусловленного решеткой; выражение для Фы/, получаемое из (5.73),
является матричным обобщением формулы (5.70):
ctg (Ф) = (/ - S?)'l(k - SN). (5.77)
Мы опять приходим к мысли о "решеточном" псевдопотенциале, возникающем
как следствие произвольности суммирующей матрицы X.
Кристаллическая структура может быть охарактеризована как некоторое целое
- "логарифмической производной" S, вычисляемой на МТ-границе, т. е. там,
где (если двигаться от начала координат) "начинается" кристаллическая
решетка: на границе раздела МТ-потенциала данного рассеивателя и
остального кристалла, рассматриваемого как некоторая эффективная среда
(§§ 10, 14). Задание S приводит к появлению фазовых сдвигов Ф,
определенных с точностью до пя, т. е. (по аналогии с МТ-
псевдопотенциалом) к появлению "решеточного" псевдопотенциала.
Уравнение (5.74) в связи с этим может быть наглядно истолковано следующим
образом (рис. 1.29). Эффективная среда, окружающая данный МТ-потенциал (в
случае кристалла - кристаллическая решетка), рассматривается как
некоторый рассеиватель. Этот рассеиватель несферичен, так как матрица
фазовых сдвигов фll> недиагональна. МТ-потенциал в данном случае
оказывается сферически-симметричным рассеивателем. Условие того, чтобы
электрон, испытавший рассеяние на одном из этих рассеивателей, не
рассеивался на другом, т. е. условие совпаде-
§ 16. ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
215
ння фазовых сдвигов (5.(74), и есть условие стационарности движения
электрона в кристалле.
Иными словами, "черный ящик" МТ-потенциала окружен "черным ящиком"
решеточного псевдопотенциала. Если фазовые сдвиги на их "границе раздела"
равны, то электрон свободно
Рис. 1.29. Схематическое изображение процесса рассеяния при описании его
псевдопотенциаль-ными секулярными уравнениями. "Черный ящик" МТ-
потенциала окружен "черным ящиком", в роли которого выступает весь
остальной кристалл.
переходит из одного в другой и обратно. Это условие стационарности
движения и определяет зонные решения Е(к) по (5.74). Характерно, что
уравнение (5.74) требует совпадения фазовых сдвигов только с точностью до
пп.
Обращаясь к материалу § 10, мы можем сказать, что вариационный параметр
F, характеризующий решеточный псевдопотенциал в (5.69), связан со средним
значением потенциала вне МТ-сферы, характеризующим на языке § 14
эффективную среду, соотношением, аналогичным (4.104) (здесь Е
отсчитывается от МТ-нуля. т. е. Е - это Ет):
F => Е - V0. (5.78)
На фене этой эффективной среды разыгрываются процессы рассеяния.
Различный выбор У0 отвечает различному "фоновому" пространству. Чем ближе
подобраны свойства этого пространства к свойствам МТ-потенциала, тем
меньше сдвиг фазы на МТ-потевпиале, т. е. тем слабее МТ-псевдопотенциал.
От СУ (5.68) типа ККР можно перейти к СУ типа ККРЗ, используя процедуру,
предполагаемую уравнениями (5.6) - (5.10), (5.16) - (5.21). Тогда мы
получим обобщение метода ККРЗ (см.
(4.113), (4.63)):
det
(Bn - F) Ъпп. + 2 Ti (Е, F) SL (k + gn, к + gn,) = 0, (5.79)
где решение должно отыскиваться относительно энергии Е. Производя свертку
(5.79) по Левдину, приходим к (4.117).
Интересно, что можно перейти к представлению волновых векторов и от
точного СУ (5.52). А именно, совершим преобразование (5.52).:
{Й - кЮБ = Ш+)-КН+Й - Н+кЮВ = 0. (5.80)
Рассмотрим в (5.80) матрицу II+кII:
i(ff+kH)nn, = 2 hL(п) kfiLL'hL' (п') = (Е) slК "'). (5.81)
LL1
216
ГЛ. 5. СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПСЕВДИЗМ
где SL, как и в (5.79), определено соотношением (4.57). Матрица Н+Н в
(5.80) имеет матричные элементы
(Н+Н)пп, = 2/"ь (и)/?("')• (5.82)
L
Окончательно из (5.80) - (5.82) имеем СУ в представлении волновых
векторов (5.80):
