Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
преобразований эта область пространства не включается в рассмотрение.
Разложение по плоским волнам в теории псевдопотенциала тем самым
проводилось всегда в некотором подпространстве координатного
пространства, что и означает, что все методы, связанные с
псевдопотенциалом, должны быть сверхполны.
Долгое время считалось, что в методе ККР нет сверхполноты [54]. Наше
рассмотрение, приводящее на основе теории модельных гамильтонианов [56,
294, 69, 296] к обобщенному секуляр-ному уравнению (5.41), показывает,
что метод ККР, будучи основан на теории рассеяния, должен включать и
разложение по сверхполному базису. Это иллюстрируется формулой (5.43), в
которой исходный базис плоских волн дополнен суперпозицией решений &iYl.
Таким образом, в зонной теории все методы, основанные на введении
псевдопотенциала, являются сверхполны-ми. Это - важный вывод, так как
метод ККР оказывается родственным остальным псевдопотенциальным методам
описания зонной структуры.
В следующем параграфе мы исследуем псевдизм в секуляр-ных уравнениях
более подробно и увидим, что если бы мы не
S 15. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА (МЕТОД ККР)
207
вводили фазовые сдвиги рассеяния (эквивалентные использованию
псевдопотенциала в силу неоднозначности их по модулю л), то
переполненность метода ККР не возникала бы.
10. Решетка из абсолютно твердых сфер. В заключение заметим, что когда
энергия Е совпадает с ег, то рассеяние на обособленной ячейке происходит,
как на абсолютно твердой сфере (ср. (2.73), (2.74)). Мы видели (§ 4), что
для теории псевдопотенциалов абсолютно твердая сфера представляет собой
модель предельно сильного возмущения. Предположим, что можно рассчитать
зонную структуру кристалла, где в качестве МТ-потен-циалов в узлах
решетки находятся абсолютно твердые сферы. Тогда для сильных
рассеивателей можно строить выражения, характерные для теории
псевдопотенциалов, используя в качестве малого параметра теории
возмущений отклонение действительного потенциала от потенциала абсолютно
твердой сферы (в смысле рассеяния, конечно, а не в смысле разности этих
потенциалов в координатном пространстве).
Метод ККР позволяет легко найти зонную структуру такого "кристалла".
Действительно, при любой энергии логарифмическая производная X, для
абсолютно твердой сферы равна °°, т. е.
Tl (Е) |абс. твердая = 00 • (5.44)
сфера
Подставляя (5.44) в (5.10), мы приходим к СУ кристалла с потенциалами в
виде абсолютно твердых сфер:
det|G^(?, k)l =0. (5.45)
Эта модель противоположна модели пустой решетки в ином смысле, чем модель
обособленной ячейки: межатомные расстояния взяты такими же, как в
реальном кристалле, но одноузель-ные потенциалы не бесконечно мелкие, а
бесконечно глубокие (бесконечно высокие). Законы дисперсии определяются в
этом случае не полюсами функции Грина (расположенными при
Е = е"), как для модели пустой решетки, а энергиями, удовлетворяющими
уравнению (5.45), так сказать, нулями функции Грина. Эти уровни -
некоторые характерные энергии данной
кристаллической структуры, связанные с энергиями сингулярности Xi, т. е.
с энергиями квазисвязанных состояний в данном потенциале. Можно высказать
предположение, что должна быть прямая корреляция между этими энергиями и
структурой решетки кристалла, так как только она определяет функцию
Грина, входящую в (5.45). Такой расчет пока что никем не проведен.
Заметим также, что в первом (диагональном) приближении решения (5.45)
совпадают с энергиями "нечувствительных" к потенциалу точек в зоне
Бриллюэна (см. § 11). Это подкрепляет нашу мысль о существовании
"структурно-чувствительных" энергий, играющих роль в формировании зонного
спектра.
208
ГЛ. 5. СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПСЕВДИЗМ
§ 16. Псевдопотенциальные секулярные уравнения 1)
1. Наложение граничных условий на волновую функцию. Рассмотрим снова
уравнение Шредингера для изолированного рассеивателя с потенциалом F(r).
Пока на волновую функцию не наложены никакие граничные условия, для
любого значения энергии можно найти решение уравнения. Ситуация обычно
меняется, когда такие условия наложены: решение существует только для
некоторых значений энергии. Эти значения определяют спектр задачи.
В предыдущем параграфе мы видели, что граничные условия можно задать,
записав уравнение Шредингера в интегральном виде и используя
соответствующую функцию Грина. Можно предложить иной способ, который
оказывается более гибким, чем применение функции Грина, и который
включает аппарат метода функций Грина как частный случай. В результате
использования такого подхода смысл псевдопотенциалов, используемых в
теории зонной структуры, станет несколько более отчетливым.
Вместо наложения граничных условий, характерных для кристалла (или для
молекулы), непосредственно на волновую функцию Ч*- подберем некоторые
(пробные) функции ф", удовлетворяющие необходимым граничным условиям.
Ясно, что линейная комбинация таких функций будет удовлетворять тем же
граничным условиям. Следовательно, если мы потребуем, чтобы волновую
