Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
det 12 ft (Е, е") SL (k + g", к + g",) - 0. (5.83)
I L
Это СУ напоминает СУ метода ППВ ((1.19) с (4.62)), которое можно
переписать в виде
det
(е" - е) (&т. - ^-2Ц^-|я; ) +
О
%п &п'
2jT,(E, гп) SL (п, п')
L
0, (5.84)
где R - радиус действия потенциала, a Q0 - объем ячейки Вигнера - Зейтца.
В формулах (5.79), (5.83) и (5.84) использовано выражение для Tt вне
изоэнергетической поверхности (4.113).
В § 14.3 мы видели, что в приближении атомной сферы (см. (4.118))
4я/?2 i1 (| %п ?п' I Щ s ~й0 |Kn-gn'|
и в СУ ППВ (5.84) остается только последний член, после чего СУ ППВ
(5.84) совпадает с СУ (5.83). Ясно также, что если в СУ типа ККРЗ (5.79)
формально положить F = гп, то все три секулярных уравнения совпадут. При
этом надо иметь в виду, что в рамках метода ППВ можно получить СУ (5.83),
только введя приближение атомной сферы, т. е. аппроксимируя потенциал; в
рамках обобщения метода ККРЗ, получаемого специальным выбором суммирующей
матрицы X, СУ (5.83) возникает как бы ') при выборе вариационного
параметра F, и в то же время СУ (5.83) может быть получено точно, как мы
видели из формул (5.80) - (5.83). Эта ситуация напоминает теорему Остина
- Хейне - Шема (см. § 4.3), по которой можно сконструиро-
') Хотя матрица XL(n) занумерована числами п, явный вид XL(n) в частности
(5.66), и аппарат метода функции Грина, использованный для (5.68), не
позволяют совершить преобразования с F = е". Поэтому речь здесь идет лишь
о формальном сходстве.
s 16. ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
217
вать ряд псевдопотенциалов, описывающих один и тот же рассеиватель.
Методы ППВ и ККРЗ (ККР), предназначенные для описания зонной структуры
кристаллов, основаны на различных псевдопотенциалах; выбор различных
пробных функций в этих методах означает выбор различных "решеточных"
псевдонотенцпалов, т. е различных эффективных сред. Именно поэтому
результаты расчета зонных структур этими методами одинаковы при различной
сходимости методов.
ЧАСТЬ 2
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА ЭНЕРГИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ
СТРУКТУР
Г л а в а 6
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА
ЭНЕРГИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
§ 17. Исходные положения
Основные соотношения, описывающие полную энергию одно-и двухкомпонентных
кристаллов в приближении псевдопотенцна-ла, неоднократно в сходных
приближениях получались различными авторами. По существу во всех случаях
полагалось, что кристалл можно рассматривать как систему из N
положительных ионов одного или разного сорта, размещенных периодически в
электронном газе. Плотность этого газа для сплава равна р0 = Z/Q -
отношению средней атомной валентности Z - (1 - c)ZA + cZB (где 1 -с и с,
Za vl ZB - атомные концентрации и валентности компонент А и В) к среднему
атомному объему сплава Q. Соответственно, для однокомпонентного
кристалла, состоящего из атомов, например, сорта А, с обращается в нуль,
И ро = ZJQa.
Полная энергия кристалла может быть рассмотрена как состоящая из двух
частей: зависящая только от объема и зависящая (формально) только от
структуры. Первая из них U} состоит из кинетической энергии свободных
электронов, обменно-корреляционной энергии и других членов, не связанхгых
с атомными перегруппировками [1-2]. Вторая часть - из электростатической
Uee и зонной Ubs энергии. Вывод t/0 приведен в [1, 2], а вывод ?/еs и Пь,
- в этой главе.
§ 18. Энергия зонной структуры
одно- и двухкомпонентных кристаллов
Рассмотрим теперь схему вывода выражений для зонной энергии сплавов. Эти
исследования были начаты в работах [3, 4]. В первой из них использован
нелокальный, а во второй - локальный потенциал, для которого схема вывода
более прозрач-
§ 18. ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ
219
на, поэтому с нее и начнем. Излагаемый далее аппарат основан
преимущественно на работах [5-9].
Из Введения видно, что во втором порядке теории возмущений зонная энергия
записывается следующим образом*):
С/ьз = ^2,'?21ЗГкр(ч)12Ц^-)- (б-1)
Здесь ЖкР (q) - формфактор псевдопотенциала кристалла. Чтобы получить
конкретные выражения для UbB, необходимо выразить УРкр (q) через
псевдопотенциалы ионов, составляющих кристалл, или их формфакторы. Для
этого сначала вспомним, что псевдопотенциал кристалла ^кр(г) и еГо фурье-
образ связаны соотношением
р (q) = -=- J e~i(k+tl)tWbKV (г) eikrdr. (6.2)
Затем представим Ж^кр (г) через псевдопотенциалы ионов:
^(")=42^(г-^). <6-3>
VM
где v - номер узла, ар - индекс сорта ионов.
Сразу же отметим, что если ионы смещены из своих идеальных положений в
кристалле за счет различий в атомных радиусах компонент, тепловых
колебаний, наличия дефектов, то появляющиеся смещения также могут быть
учтены. Этот вопрос будет рассмотрен отдельно, а сейчас мы будем строить
псевдопо-тенциальную теорию кристалла в предположении, что ионы находятся
во всех узлах трансляционной решетки кристалла, причем только в этих
узлах.
Начнем дальнейшие рассуждения с рассмотрения соответствующих выражений
для сплава, а формулы для однокомпо-иентных кристаллов получим как
