Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
(г-й зоной). Совокупность законов дисперсии представляет собой зонную
структуру кристалла. Уравнения типа (5.3), появляющиеся как условие
разрешимости однородной системы, называются секулярными уравнениями (СУ).
Уравнение (5.2) впервые получено Займаном [56] на основе теории
многократного рассеяния электрона на МТ-потенциалах, формирующих
кристаллическую решетку. Оно может быть получено [56] преобразованием
секулярного уравнения метода расчета зонной структуры, предложенного
Коррингой [359] и Коном и Ростокером [360] на основе метода функпии Грина
(см. нише). Поэтому секулярное уравнение (5.3) часто называют СУ Коррин-
ги - Кона - Ростокера - Займана (ККРЗ).
Подчеркнем простоту нашего построения СУ ККРЗ: мы рассмотрели рассеяние
на изолированном МТ-потенциале, подобрали соответствующий
псевдопотенциал, а затем разложили искомую волновую функцию по базису,
учитывающему периодичность кристалла, и пришли к системе уравнений (5.2)
для определения коэффициентов разложения.
Рассмотрим свойства СУ ККРЗ. Прежде всего заметим, что оно удовлетворяет
критерию пустой решетки: при исчезающе мелких потенциалах %t(E) = У^Е),
т. е. Г^КРЗ=0, п (5.6) сводится к СУ (1.27):
det 1 (е" - Е) 8пп' | = 0. (5.4)
Очевидно, решения (5.4) есть законы дисперсии пустой решетки.
Матричные элементы СУ ККРЗ зависят от энергии. Поэтому для определения Et
мы не можем использовать аппарат решения задач на собственные значения
матриц (матрица в данном случае зависит от искомых собственных значений).
Уравнение (5.3) решается следующим образом.
Для последовательных значений энергии в некотором интервале энергий
вычисляется детерминант в (5.3), строится зависимость значений
детерминанта от энергии, по которой отыскиваются точки пересечения этой
функции с осью энергий. Значения корней Е{ детерминанта в (5.3),
рассматриваемого как функция энергии, являются искомыми энергетическими
уровнями.
Для переходных металлов расчет должен проводиться до энергий, заведомо
превышающих уровень Ферми, поскольку величина энергии Ферми определяется
только по полученной в результате расчета зонной структуры плотности
состояний. Однако при таких энергиях метод ККРЗ оказывается плохо
пригодным. Дело в том, что в матричные элементы ККРЗ входит 3?1 (Е) ~ jj1
(xR), т. е. псевдопотенциал ККРЗ сингулярен при энергиях, удовлетворяющих
условию
п (к У~$) = 0. (5.5)
§ 15. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА (МЕТОД ККР)
193
Ути резонансы называются "ложными полюсами", так как не имеют физического
смысла, хотя и существуют вполне реально в энергетической зависимости
исевдопотенцпала. Ближайшим к энергии Ферми ложным полюсом будет полюс
для I = 0 (самый низкий из всех полюсов), т. е. Ef0 = (я//?)2, где R -
МТ-радиус. Для ГЦК решетки отношение Е[/Ер = 8n2(12n2Z)~2 3 означает, что
ложный полюс действительно заметен вблизи от энергии Ферми, особенно для
металлов с большой валентностью Z. Сингулярность в матричных элементах
ККРЗ означает, что они не малы даже при больших векторах обратной
решетки, т. е. в "секулярном" детерминанте в (5.3) нельзя пренебрегать
большими векторами g"; размерность СУ становится слишком велика для
конкретных вычислений.
В этом случае говорят, что сингулярность матричных элементов СУ нарушает
сходимость по векторам обратной решетки. Более того, сингулярность,
обусловленная (5.5), приводит к резонансу с отрицательной шириной
резонанса, что означает (см. § 1КЗ) нефпзичное (или не понимаемое пока
теоретиками) стягивание зонных решений к энергии этого резонанса с
возможным появлением комплексных значений ?Дк), означающих конечное время
жизни электрона в данном состоянии. Такие состояния означают, что
электрои покидает кристалл подобно тому, как для квазисвязагшого
состояния одиночного МТ-рассенвателя он покидал этот рассеиватель (§§ 2,
3). Но поскольку мы предположили, что кристалл бесконечен, то это
невозможно: электрону просто "некуда деваться". Поэтому мы п считаем, что
эти полюсы - ложные.
Ложные полюсы возникают только в методе ККРЗ, но не в методах ОПВ или
ППВ. Более тою, они (при достаточно больших размерностях секулярных
матриц) не проявляются в зонных решениях, н зонные структуры,
рассчитанные методами ППВ и ККРЗ, практически не отличаются друг от друга
[337, 338]. То же самое относится и к методу ККР (см. ниже)-эти методы
расчета зонной структуры дают количественно близкие результаты1). Таким
образом, ложные полюсы влияют на процедуру, тго не на результат расчета.
2. Секулярное уравнение метода ККР. Трудности метода ККРЗ могут быть
обойдены переходом к СУ метода ККР. Такой переход впервые осуществлен
Займаном [56], выполнившим унитарное преобразование. Мы прибегнем к
похожему, но более простому неунитарному преобразованию.
Подставим явное выражение для SL (4.57) в (5.2) и проведем суммирование
по п . Для краткости зависимость функций hL от
') Для одинаковых потенциалов; см., например, [361]. 13 л. И. Ястребов,
А. А. Кацнельсон
194
ГЛ. 5. СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПСЕВДИЗМ
