Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сь-. (5.32)
возьмем интеграл по частям:
СьЯг = 2 | ri [Gll- &1- (ri) - &г (ri) ^LL'jo +
-](r)v {,'i] [ г* ?[ ~ + E]G^'r>i
0 L ri 1 1 ri J
Подставляя определение (5.16) в (5.32), получаем, что интеграл равен
bbt'&i (г - Щ, т. е. поскольку в пределе г -> г, -> R
52Дг) гладко переходит в 52г(Я), мы получаем систему линейных однородных
уравнений относительно неизвестных (при
rt = 0 вронскиан в (5.32) равен нулю):
2 [G^ (r- ri) Яг (ri) - Яг (Г,) ^ Сьь, (г, ГХ)] Сь- = о. (5.33)
Подставим (5.16) в (5.33) и приведем подобные члены:
2 Mll'/i (ji'&i' - ii'&i') + VЕ 6ll'U {ni-&r - Tii-Sti-)] Cl- = 0.
L'
Вводя новые коэффициенты aL:
aL = (/, (y.R) fr ^ (E, r) - 9h (E, R) ± jt (*Я))^я Cl, (5.34)
и вынося за знак суммы /(, мы приходим к уже построенному ранее виду:
2 (ALL. (Е, к) + /? 6ll' ctg тр (Е)) aL- = 0. (5.35)
L'
Условием существования ненулевых коэффициентов aL служит СУ ККР (5.21).
Коэффициенты CL, определенные по (5.34), (5.35), должны совпадать с
коэффициентами CL, определенными по (5.7), так как являются решениями
одной и той же системы линейных однородных уравнений.
Таким образом, мы видим, что теория рассеяния позволяет переходить от
представления "волновых векторов" (типа модели ПСЭ) к представлению
"орбитальных чисел", характеризующих одноузельный потенциал (типа модели
ЛКАО). Но если это так, то должна ли существовать модель, противоположная
модели пустой решетки, модели ПСЭ?
7. Модель обособленной ячейки. В модели ЛКАО при бесконечном
увеличении параметра кристаллической решетки возникал предельный случай -
изолированные атомы. В методе ККР (функции Грина) мы наложили
специфическое граничное условие - отсутствие приходящей волны, т. е.
предельным случаем
8 15. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА (МЕТОД ККР)
203
в методе ККР не может являться изолированный рассеиватель, так же как в
модели ПСЭ предельным случаем является не просто |к>, плоская волна с
законом дисперсии к2, а совокупность плоских волн lk + g"> и законы
дисперсии (k + g")\
Итак, рассмотрим СУ ККР и устремим параметр решетки а к бесконечности, не
меняя радиуса действия потенциала R. Очевидно, что после перехода к
пределу а -> °° мы придем к модели: бесконечное число бесконечно
удаленных друг от друга ячеек Вигнера - Зейтца. Будем называть такую
модель моделью обособленной ячейки. (Это - не модель изолированной
ячейки, введенная в § 9, в которой граничные условия были условиями
свободных электронов. Здесь сохранены блоховские граничные условия, т. е.
условия Борна - Кармана.)
Каковы же законы дисперсии в модели обособленной ячейки? Для ответа на
этот вопрос рассмотрим СУ ККР (5.10). При неизменном R увеличение а
означает, что |k + g"I/?~a_1 и стремится к нулю, т. е. /;(1к + gji?) -+
Sl,o и по (2.33), (5.9):
GLL'-" ^ У 6ь'ф--'-° (-jUV ~ а~3-"0. (5.36)
а->°о Qo -J Е \1/4я/ V '
Из (5.10) и (5.36) получаем СУ модели обособленной ячейки:
det
Sll-
= 0. (5.37)
\ (/¦) - -7г (/••)
В модели обособленной ячейки, как и следовало ожидать, орбитальный момент
является интегралом движения, в (5.37) входит е. так же, как и в
изолированном атоме, не происхо-
дит гибридизации различных орбитальных чисел. Для каждого данного I
существует бесконечное число решений, возникающих при выполнении условия
(h(E)- SfdE))~x = b (5.38)
Уравнение (5.38) выполняется, когда энергия Е равна энергии сингулярности
или 3^1, т. е. решениями в модели обособленной ячейки служат два типа
уровней:
Е - ег, Е = Е[, (5.39)
где Е{ определяется условием (5.5), а ег - энергия сингулярности
логарифмической производной %t, связанная по (2.83) с энергией уровня
квазисвязанного состояния, Et.
Можно сказать, что при растягивании кристалла энергетические зоны
сужаются, и при а-* °° - "слипаются" в уровни е/т которые, как и решения
Elk), являются стационарными, т. е. характеризуются бесконечным временем
жизни. При этом уровни ег являются решениями задачи о собственных уровнях
обособлен-
204
ГЛ. 5. СЕКУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПСЕВДИЗМ
ной ячейки, но с граничными условиями кристалла, а не атрма, что
позволяет им находиться как при ?мт < 0, так и при /?мт > 0. Подобно
атомным уровням, эти состояния разделены запрещенными промежутками; их
нельзя рассматривать как уровни, находящиеся в континууме
"свободноэлектронных" уровней: все уровни континуума "слиплись" в уровни
обособленной ячейки.
Подставляя в (5.37) параметризацию (4.80), получаем1) типичную задачу на
собственные значения, подобную секулярному уравнению (5.4) модели пустой
решетки:
det | (е; - Е) 8ц/ j = 0. (5.40)
Мы приходим к выводу, что теория рассеяния описывает кристалл как модель,
"промежуточную" между моделями пустой решетки и обособленной ячейки. В
зависимости от того, какие "черты" более явственно проступают в зонной
структуре кристалла, следует использовать для ее описания либо модель
ПСЭ, либо модель ЛКАО.
8. Модельный гамильтониан для СУ ККР. Возникает закономерный вопрос -
можно ли непосредственно убедиться во взаимном переходе этих моделей друг
