Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
k + g" будем обозначать одной буквой п:
(еп - Е) Вп + 2 WTihL (п) S hL (п') Вп, = 0. (5.6)
L nf
Введем новые коэффициенты Сь, записывая выражение для них в следующем
виде:
-J-CL+SAt(n)5" = 0.
r2t
Тогда из (5.6) и (5.7):
(гп- E)Bn + ^hL(n) Cl = 0.
L
Выразим Вп через CL с помощью (5.8) и подставим в (5.7):
(5-7)
(5.8)
2
L'
$LL> __________ ^Г, (") ^L' (")
Н*Т, (Е)
гп-Е
Си = 0.
Мы пришли к системе линейных однородных уравнений относительно
коэффициентов Сь. Чтобы эта система имела нзнулевое решение, ее
определитель должен равняться нулю. Вводя
¦VT hT (п) hT, (п)
GLl>{к, Я)-2-Ц-'"А ,
П
получаем секулярное уравнение:
det
Gll'(к, Е)
LL'
R' (А, (Е) - а1 (?•))
0.
(5.9)
(5.10)
Это н есть секулярное уравнение метода ККР (вернее, перейдет в него после
несложных алгебраических преобразований).
Предварительно рассмотрим матрицу Gll!- Очевидно, Gn• (k, Е) получена из
некоторой функции G(r, г'):
G(г, г') = 2 GLL' (k, Е) Yl(г) Y ь. (г').
LL'
Подставляя. (5.9) в (5.11), получаем
е{(к+вп)ге-Чк+ё")г'
G (г, г')
-У-
е_ - Е
п
(5.11)
(5.12)
Поскольку 8П - "собственные числа" в модели пустой решетки, a Qq 1,2 ехР
[i(k + gn) г]- собственные волновые функции этой модели, то в силу
определения (2.9) функция Glr - r') (5.12) есть функция Грина пустой
решетки. Из-за того, что в СУ метода ККР входит функция Грина, метод ККР
часто называют методом функции Грина.
§ 15. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА (МЕТОД ККР) 195
3. Структурные константы. Функция Грина (5.12) может быть записана в
несколько иной форме. Для перехода к новому представлению проведем
следующие преобразования. Запишем выражение (5.12) в виде
G (г, г') = - 18(k + gn - q)^ ^ ^ d3q,
где интегрирование ведется по всему обратному пространству.
Можно переписать 6-функцию в виде интеграла:
6(k + g"-q)s * fe1(k+g"-,)rid"r1,
(2я) -
где интегрирование ведется по всему пространству кристалла. Тогда
G (г, г') = - -V f f е <k"q)ri [2
4 ' (2я) Q" J J "
"йпг1
. п
Сумма по п равна нулю, когда г, - произвольный вектор, и равна каждый
раз, когда г, = tv (ср. со структурным фактором (1.22)). Учитывая
нормировку плоских волн, имеем
о п V
В результате получаем
^ , 1 v iktv f ei4(r-г -ty)
C(r'r)="5??e J ,"_д <5ЛЗ>
С подобным интегралом мы уже сталкивались прп построении функции Грина
свободных электронов в (2.11):
1 С piqx л piVljx
Ч \~Т d3q = Gо(|х|)=- (5-14)
(2я) J q2 - Е о \ I I / 4л | х | '
' >
где G0 - функция Грина свободного электрона. Подставляя (5.14) в (5.13),
получаем
G(г, r')= 2G0(|r-r'-tv|)eik'v. (5.15)
V
Таким образом, функция Грина электрона в пустой решетке G(г, г') есть
блоховская комбинация функций Грина свободного электрона, центрированных
на различных узлах кристаллической решетки, аналогичная той комбинации
атомных орбиталей, что возникала в методе ЛКАО (1.15). Функция Грина
пустой решетки периодична по кристаллу точно так же, как любая функция,
удовлетворяющая блоховскому граничному условию (1.2).
13*
1 ов
ГЛ. 5. СЕКУЛЯРИЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПСЕВДИЗМ
Используя разложение (2.36), можно представить матричные элементы Cxi/ в
виде
6т.1/ (| г |, | г< |, Е, k) =
= ALl' {E, k) it (r<x) /,"(r>x) + хбы//г (r<x) m (r>x), (5.16)
где определяется с помощью именно этого тождества:
G"' bkl) ~z6'1' Шд (5'17)
Таким образом, для All' существуют две формы записи. Из (5.9) и (5.17)
следует первый вариант:
1 ^hj(n)hj,(n) и,
- _ - хб/.ы - ¦
hr " Ъп ¦ /г
(5.18)
Из (5.15), (5.14) и (2.34) - (2.36) получаем второй вариант:
ALL' = 4я 2 C?L'DL* (Е, к), (5.19)
L"
где - коэффициенты Гаунта (2.21), и
Dl (Е, k) = X 2 eiktv [nt (xfv) - ijt (xfv)] Гь (tv) - (5.20)
мФо V4я
Для Dl можно получить более сложные, но более быстро сходящиеся
разложения, чем (5.20). Это сделано в работах (360, 362-3641; изложение
[360, 362] на русском языке см. в 1336J.
4. Исследование секулярного уравнения ККР. Подставляя
выражение (5.16) в (5.10) и проведя очевидные преобразования (используя
тождество (2.106)), получаем именно тот вид СУ ККР, который принят в
литературе:
det | All. (Е, к) + УЁ 8Ll' ctg t), (Е) | = 0. (5.21)
Мы видим, что в СУ ККР появился фазовый сдвиг рассеяния тр на МТ-
нотенцпале. (Разбиение (5.16) функции Грпна, в результате которого
возникли ALl', связано с некоторыми тонкостями аппарата гриновских
функций, касающимися возможных сингулярностей функции Грина при г = г'.)
Можно показать, что коэффициенты Лы/ не зависят от конкретного выбора г и
г'. Это легко увидеть из выражения (5.20) для Dh, куда не входят йвно
значения г и г'. Итак, функция Грина (5.9) была разбита на регулярную и
нерегулярную при г -г' части, одна пз которых есть ALL'iijr (причем вся
зависимость от координаты сосредоточена в произведении /г/г), а другая -
хцщ. Легко видеть, что регулярная часть имеет непрерывную при г- г'
пропзвод-
§ 15. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА (МЕТОД ККР)
197
ную, а нерегулярная (в силу линейной независимости jn{x) и пАх)) -
разрывную. Нерегулярная часть функции Грина была объединена со вторым
