Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
предельные при стремлении концентрации примесных атомов к нулю.
Введем в рассмотрение операторы cv, равные единице, если в v-м узле2)
находится атом В, и нулю, если в том же узле
') Как и в ч. 1, в этой части формфакторы измеряются в ридбергах, а
вклады б полную энергию, в соответствии с традициями,- в атомных единицах
Хартри (1 a. e. = 2Ry). Кроме того, п-севдопотенциалы ионов (неэкраии-
рованных) помечаются индексом "Ь", от английского слова "bare", т. е.
"голый", неэкранированный.
2) По традиции часто говорят, что в узлах решетки находятся атомы,
хотя рассмотрение проводят для ионов. Ниже мы будем иногда следовать
этой традиции.
220
ГЛ. 6. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
находится атом А. В этом случае З^кр (г) принимает вид
(0 = 4 2 К1 - cv) WbA (г - tv) + cvWbB (Г - tv)) • (6.4)
N v
Очевидно, что в (6.4) суммирование проводится по всем л-. Подставляя
(6.4) в (6.2), получаем
У%> (ч) = 4-2 {(1 " Wa (q) e'iqtv + cvWbB (q) е^Ч (6.5)
Выделим из Wvv{q) среднее значение 3f,Kp(q), для чего в каждом узле
добавим и вычтем среднее значение фурье-образа псевдопотенциала атомов
сплава. Имеем
(Ч) = 4" 2 wh (Ч)е ,qtV + 4" 2 (Cv - с) ^уЬ (Ч)е *q4- (6-6)
V V
Здесь
iF(q) = cW^(q) +(l-cJWlta), (6.7)
AWb (q) = WbB (q) - WbA (q). (6.8)
Поскольку T-P(q) и ATHHq) не зависят от v, их можно вынести из-под знака
соответствующих сумм, а оставшиеся выражения обозначить:
1 V / I -iHv r , , -y-^(cv-с)е =С( q).
V
Для рассматриваемого здесь идеального бесконечного кристалла, атомы в
котором расположены строго периодически,
A (q) = 6q,gn, (6.10)
где g" - любой (п-й) вектор обратной решетки. В то же время
C(q-gn) = |2 (cv - с) e~ig"tv S0. (6.11)
V
Поэтому
S(q)C(q) = 0. (6.12)
В результате
I (q) |2 = A (q) S* (q) | Wb (q) |2 + C (q) C* (q) | AWb (q) |2.
(6.13)
§ 18. ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ
221
Подставляя (6.13) в (6.1), получим U** = Цч2 [5 (Ч) 5* (ч) | W^(q) |2
+
~Ь С (q) С* (q) | A IE6 (q) |2]. (6.14)
Первый па этих членов пропорционален квадрату среднего формфактора атомов
сплава или формфактору атомов однокомпонентного кристалла, а второй имеет
смысл только для сплава. Сначала рассмотрим первую из этих сумм. Она
имеет вид
^ = ш 2' ч2 (tm)~ъ(ч) |2 6qg-=
<*¦*>
Таким образом, она превращается в сумму но векторам обратной решетки
(кроме gn = 0), и это означает, что ее величина определяется только
значениями e(q), e*(q) и W(q) при q = = g," т. e. дискретными значениями
указанных функций. Если энергия сплава определяется лишь этой суммой, то
при переходе от однокомпонентного кристалла к сплаву можно ограничиться
переходом от О к Q п от W(q) к W(q). Не следует забывать, однако, что
сами формфакторы и экранирующие функции атомов компонент при этом
переходе могут измениться из-за изменения межатомных расстояний и средней
валентности, н в настоящее время многими авторами принят следующий прием.
Формфактор атома в сплаве W^,(q) выражается через формфактор иона в
однокомпонентном кристалле (металле) I/Emct((/) таким образом:
HV(q)= " IEmct (q): (6.16)
Ste (q)
где П<м) - удельный объем атома, cM(q) - диэлектрическая проницаемость
атома сорта р в чистом компоненте. Ряд авторов полагает, что формула
(6.16) весьма упрощена, однако единой точки зрения пока еще нет.
Проанализируем теперь вопрос о стабильности кристаллических структур с
точки зрения функции ?7ьУ. Преобразуем ее для удобства к выражению
= 2' I iFfcn) Is = 2'ф*. ("")•¦ (6Л?)
п \*"П/ п
Выражение Фь?(ёп) называют характеристической функцией (иногда добавляя -
зонной структуры).
222
ГЛ. 6. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
Из формулы (6.17) следует, что кристаллическая структура тем устойчивее,
чем больше по абсолютной величине (r)be(gn) (напомним: ФЬ9(ч) < 0, так как
%(q) < 0) в точках, отвечающих векторам g" соответствующей структуры.
Поэтому для решения вопроса о стабильности той или иной кристаллической
структуры следует проанализировать зависимость <DbS(g") от g".
Поведение характеристической функции в целом определяется характером
зависимости ее составляющих от волнового вектора q. Поэтому в данном
разделе будет рассмотрено поведение диэлектрической проницаемости e(q),
функции Линдхарда %(q), одного из типичных псевдопотенциалов JT(q) и
квадрата его модуля в q-пространстве.
Начнем с рассмотрения %(<?). График этой функции, равной в приближении
сферы Ферми
/ \ 32
1-тГ
2Л
In
1 - Л
(6.18)
(где x\ = q/2kF), показан на рис. 2.1. Из рисунка видно, что %{д) всегда
отрицательна, ее абсолютная величина максимальна при
S(J)
ХЩ
О Й
с7,5
9/Щ 1,0 1,5
q/lkF
Рис. 2.1. График функции х(?). Рис. 2.2. Диэлектрическая проницаемость
e(q).
(] = 0, где она равна {-3/s)Z/EF. Наиболее быстро она меняется вблизи q =
2kF, где за счет члена (1 - ц)1п|1 - ц| возникает сравнительно слабая
особенность типа 0 • In 0. Эта особенность становится заметнее в
производных d%/dq и является особенностью типа In 0 в первой и типа О-1
во второй производной. Увеличение q сверх 2kF приводит к уменьшению
