Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
184
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
ция решений радиального уравнения с энергией Е, а "вне" потенциала она
является плоской волной с волновым вектором к, причем не накладывается
условий на взаимосвязь ? и к. (Правда, сшивка функций в этом случае
производится только по амплитуде.) Как известно, такая процедура не
мешает методу ППВ быть одним из наиболее удачных методов расчета зонной
структуры [54, 336, 212]. Успех метода ППВ в определенном смысле
обусловлен тем, что он оперирует с очень гибкой пробной функцией, так как
энергия Е и волновой вектор к могут варьироваться независимо.
Следует ожидать, что использование теории рассеяния "вне
изоэнергетической поверхности" приведет к построению более гибких
псевдопотенциалов, чем существующие.
2. Фазовые сдвиги "вне изоэнергетической поверхности". Введем волновую
функцию ФЕ) такую, чтобы обычное решение радиального уравнения "на
изоэнергетической поверхности-) &i(E) давалось соотношением
Ях (Е)= j* Ф, (F, Е) б (F~E)dE=Ol (Е,Е). (4.97)
Потребуем, чтобы Ф; удовлетворяла интегральному уравнению типа (2.4):
Фi (F, Е) = /г (/г) -f | G[ (F, г, rx) V (г^Ф, (F, Е, rx) r\dr^ (4.98)
где j = }'F, а функция Грина определена для "свободных" электронов, т. е.
движущихся в области МТ-плато (эффективной среды):
G,(F, г, г,) =//,(/г<)п,(/г>).
С таким выбором функции Грина выражение (4.98) удовлетворяет радиальному
уравнению Шредингера для свободного движения с энергией F (для всех г).
Выражение (4.98) определяет зависимость Фг от энергии F, а зависимость от
энергии Е остается пока что произвольной.
Потребуем, чтобы внутри МТ-сферы функция Ф; удовлетворяла уравнению
Шредингера с энергией Е:
(- Vr + V (г) +111+11 _ Е) Ф, (F, Е) = 0. (4.99)
Таким образом, для г < R
Ot(F, ?)=$,(?). (4.100)
При г > R функция Ф; определена выражением (4.93).
g 14. ЭФФЕКТИВНАЯ СРЕЗДА И ФФ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА
185
Из (4.98) и (4.100) можно определить фазу рассеяния вне изоэнергетической
поверхности (ср. с (2.56)):
R
tg rp (F, Е) = - / j U (/г) V (г)&\(Е, г) гЧг. (4.101)
о
Тогда при r> R функция Ф( имеет вид, аналогичный (2.57):
Ф,(F, Е) = /,(/г) - га,(/г) tg rp(F, Е). (4.102)
Выражение (4.101) соответствует матричному элементу взаимодействия,
обусловленного потенциалом V, взятому на двух функциях: на "собственном"
для потенциала V решении ЯАЕ) и "свободноэлектронном" решении jArHF).
Поскольку цД/'', Е) Ф Ф цАЕ, F), то порядок аргументов существен. Ниже мы
всегда будем указывать на первом месте энергию "налетающей" волны, т. е.
входящую в аргумент jArl/F), а на втором - энергию рассеянной волны,
входящую в аргумент &АЕ).
Поскольку при r<R функция совпадает с Фг, гладко определенной при всех г,
то потребуем, чтобы Ф;, определенная вне МТ-сферы, гладко переходила в
решение, определенное внутри МТ-сферы, т. е. чтобы Фг была непрерывна при
г = R по амплитуде и производной. Вводя логарифмическую производную hAE),
определенную (2.66), получаем
^ h (fr) - /; (fr) М (Е) tg гь(Е,Е) 1К
nl (fг) - пI (fr) ^i(E)
(4.103)
Это выражение является обобщением обычного выражения (2.67), для
рассеяния "на изоэнергетической поверхности", в которое оно переходит при
F = Е.
3. ККРЗ-формфактор и эффективная среда. Для анализа влияния выбора
эффективной среды на вид ККРЗ-формфактора рассмотрим рассеяние на
потенциале ячейки Вигнера - Зейтца (3.73) (см. рис. 1.14). Для такого
потенциала существует два естественных начала отсчета энергии: от МТ-
плато (энергия Ешт) и от вакуумного нуля (энергия Еу). Имеются трп
характерные области: 0 <г<Д'мт (область /), Я мт < г < R* (область II),
Ra<r<°° (область III).
Мы* можем сказать, что электрон, имеющий в области III энергию Еч, в
области II имеет энергию Емт:
Em=>Er + Vt. (4.104)
В области I нет плато потенциала, поэтому в ней можно характеризовать
электрон как энергией Еч, так и энергией Е^т.
Рассмотрим, как меняются формулы теории рассеяния при замене энергии ?мт
на Еч, Для этого в области I введем
186 ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
МТ-потенциал FMt:
FMT(r) = FB3(r) - F". (4.105)
Уравнение Шредннгера в области I имеет вид
^- Vr + FMt (г) -J-^ ^ - Амт^ 5??1Т(?'мт) = 0- (4.106)
Сместим напало отсвета энергии, подставив (4.104 в
(4.106) и
используя (4.105):
(- V? + ^В3(г) + Я?Т(ЕМТ) = 0. (4.107)
Уравнение (4.107) есть одновременно и уравнение зля Mf3, откуда следует,
что
ЯТ (Ey) = ЯГ (7?мт). (4.108)
Рассмотрим область III. Вид решения очевиден:
Я?3 (ЕУ) = Аг [U (г уТу) - щ (г УТу) tg ц?3 (?v)]- (4.109)
Сложность возникает при определении решения в области II, где оно должно
гладко сшиваться как с решением в области I, так и с решением в области
III. Упростить задачу можно с помощью приближения атомной сферы (АС),
введенного в § 9.4. Оно заключается в замене многогранной ячейки Вигнера
- Зейтца равновеликой сферой Вигнера - Зейтца и распространении МТ-сферы
до границ сферы Вигнера - Зейтца (3.86).
В приближении АС область II исчезает, и решения из областей I и III могут
