Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
сумму атомных плотностей):
ркр (г) = 2 Рат (г - tv). (3.77)
V
Это выражение обладает такой же анизотропией, как и (3.71). Проведем
усреднение (3.77) по углам, составляемым вектором г с осями координат.
Оно эквивалентно перераспределению электронов из областей с высокой
электронной плотностью в области с низкой плотностью, что, как мы видели
выше, напоминает самосогласование. Получаем
р';р (| г 1) = 4^- ^ j Рат (r - tv) sin 0 <20 dtp. (3.78)
V
Интеграл в (3.78) берется только численно. Обычно при этом используется
техника переразложения функций, центрированных на одном узле, по
функциям, центрированным на другом узле. Этот способ был предложен
Левдиным [210] и обычно называется a-разложением Левдина. Для построения
кристаллического потенциала он впервые использовался Маттейсом [211],
поэтому всю описываемую процедуру построения кристаллического МТ-
потенциала часто в литературе называют методом Маттейса. Он подробно
изложен в [212, 213].
Схематически изложим основные черты a-техники Левдина, поскольку конечный
вид формул способен вызвать недоумение.
Рассмотрим переразложение плотности от v-ro центра вокруг пулевого
центра. Направим ось Oz вдоль линии, соединяющей эти центры (рис. 1.13).
Интегрирование по ф даст просто 2я, так как задача имеет цилиндрическую
симметрию. При интегрировании по 0 от 0 до 2я проекция вектора AQ = г -1"
на ось Oz будет изменяться от AN = |tv| - |г| до АР - lt"l + lrI.
Поскольку cos 0 = z/r, sin 0 d0 = - d cos 0 = - dz/г, то усреднение
относи-
§ 9. ЯЧЕЕЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА
115
тельно нулевого центра по всем углам 0 эквивалентно усреднению по z,
проводимому в пределах от ltvl - 1г| до lt,l + Irl. Производя необходимые
подстановки, получаем
<v+r
pHP(lr|) = p-(r)-j-J_2 ~ j Р (3.79)
V^O tv-T
Первый член в (3.79) отвечает исходной плотности центрального атома, а
второй - экранирующей плотности.
По кристаллической плотности ркр мояшо определить кулонов-ский потенциал
с помощью уравнения Пуассона. Решение удобно записать в виде суммы
интегралов (сумма возникает из-за муль-типольного разложения (г - rj-1 в
интеграле типа (3.4)):
7"2 Лле2 Г Ra
XJ 9(ri)rldr1-\- 4ле2 Г р (гх)
0 г
(3.80)
Обменный потенциал вычисляется по формуле Слэтера (3.12): уобм (г) = _ 2
" (зягр (г)) 1/з. (3.81)
Иногда Fo6m домножают (117-1191 йа функцию типа F в (3.8), чтобы учесть
зависимость обменного потенциала от состояния, на которое он действует, и
корреляционные эффекты [214-218]. Предприняты и другие попытки учесть
зависимость потенциала от состояния электрона (219-2231.
Таким образом, вид потенциала при г < 7?мт известен. Следует определить
величину F0.
По своему смыслу F0 - среднее значение потенциала по области между МТ-
сферой (где г ^ 7?мт) и границами ячейки Вигнера- Зейтца. Обычно его так
и вычисляют [211, 212, 336, 337].
Можно прибегнуть к критерию электронейтральности ячейки Вигнера - Зейтца,
производя объемное усреднение плотности [224]. Действительно, заряд,
содержащийся внутри МТ-сферы, легко найти:
БМТ
(?мт = 4я | ркр (г) гЧг. (3.82)
о
8*
Рис. 1.13. Вектор г составляет угол 0 с направлением от атома в точке О к
атому в точке А. При изменении 0 от 0 до л величина проекции вектора AQ
(отрезок AQ') меняется от AN до АР.
116
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
Тогда заряд вые МТ-сферы равен разности полного числа электронов Ъ и
<?мт, т. е. плотность заряда вне МТ-сферы
pout = (Z _ gMT)/(Qo _ ймт). (3.83)
В этом способе МТ-приближенпе делается для плотности, а не для
потенциала. Очень важно, что оно применяется к полной плотностп, а не к
экранирующей - как в случае аддитивного экранирования с помощью однородно
распределенного экранирующего заряда (§ 8). Сферическн-симметрнчная
кристаллическая плотность автоматически предполагает сферически-
симметрич-пый кристаллический потенциал, что согласуется с тем, что
самосогласованный потенциал ближе к сферической симметрии, чем исходный.
МТ-приближенпе для плотности автоматически приводит к .МТ-форме обменного
потенциала; МТ-сдвиг, обусловленный обменом, вычисляют элементарно с
помощью (3.81) и (3.83), считая, что (3.81) справедливо при всех г.
Кулоновский МТ-сдвиг (обусловленный кулоновским потенциалом) найти
несколько сложнее; выражение получается довольно громоздкое [224-226], но
легко вычисляемое.
Существуют и другие способы расчета V" [211, 212, 227-231].
Из нашего рассмотрения следует, что конкретное значение V0 может быть
получено с помощью каких-либо модельных представлений о виде МТ-
потенциала; а будут ли это оптимизационные критерии типа (3.55) или
какие-то другие - не играет роли. Так и надо понимать физический смысл
То, как оптимизационного параметра (см. ниже, п. 4). Это значит, что дпо
зоны проводимости не обязано совпадать с МТ-нулем; даже в случае модели
ПСЭ (гл. 1) при использовании теории возмущений мы видели, что дно зоны
почти свободпых электронов понижается по сравнению с началом отсчета
энергии (в случае модели ПСЭ это был вакуумный нуль). Зона проводимости
