Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
(3.65). Действительно, МТ-сфера - это сфера, вписанная в ячейку Вигнера -
Зейтца, и у нас нет оснований предполагать, что весь заряд стянут в эту
сферу. Возможно, надо рассматривать На как модельный радиус, но
исследований этого вопроса в литературе нет. Итак, мы считаем, что
модельный радиус в формуле (3.66) равен атомному радиусу Ra,
определяемому как радиус атомной сферы ?20 (сферы Вигнера - Зейтца).
Заметим, что критерий (3.65) на самом деле содержит два условия. Первое
из них, более сильное, может быть применено как
108
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
условие экранирования: это требование ограниченности радиуса действия
потенциала (кстати, оно автоматически приводит к устранению расходимости
длинноволнового предела формфактора).
Второе условие, электронейтральпость ячейки Внгпера - Зейтца, является
дополнением к первому.
4. Сравнение моделей экранирования. Возникает желание сравнить
описанные два подхода к экранированию потенциалов: диэлектрическое и
аддитивное экранирования. Мы это сделаем для потенциалов, подчиняющихся
критерию оптимальности
(3.66). Это позволит нам избежать дополнительных трудностей по оценке
надежности наших выводов.
Действительно, как построить псевдоатом, подчиняющийся критерию (3.66),
если мы используем диэлектрическое экранирование? Единственный путь - это
перейти от формфактора экранированного псевдопотенциала (3.25) к его
прообразу в реальном пространстве, а затем попытаться так подогнать
параметры псевдопотенциала, чтобы условие (3.66) было выполнено. Ясно,
что из-за наличия фриделевских осцилляций это невозможно: обязательно в
ранках диэлектрического экранирования будет взаимопроникновение "хвостов"
псевдоатомов.
В этом случае нам приходит на помощь задача, уже решенная нами в § 7.5,
где мы рассматривали приближение Томаса - Ферми для экранирования. В этом
приближении не возникает фриделевских осцилляций, т. е. недостаток с
точки зрения диэлектрического экранирования (для потенциала, погруженпого
в электронный газ) оказывается преимуществом для потенциала, погруженного
в "сообщество себе подобных".
Итак, выбирая Ra = (3Q0/4n)1/3 и используя результаты § 7.5 по томас-
фермиевскому экранировнию, мы из (3.49) получаем условие для определения
глубины ямы псевдопотенциала типа Хейпе - Абаренкова. Этот
псевдопотенцнал является оптимизированным с точки зрения диэлектрического
формализма.
Теперь надо обратиться к аддитивному экранированию и в его рамках
построить оптимизированный псевдопотенцнал. Будем рассуждать так. Для
согласования с диэлектрическим формализмом мы можем предполагать, что
экранирующий газ электронов был первоначально распределен по всему
пространству. Следовательно, внутри каждой ячейки Вигнера - Зейтца должно
было содержаться ровно Z электронов. Плотность их распределения в
координатном пространстве равна Z/Q0. Мы можем рассчитать кулоновский
потенциал, создаваемый таким электронным распределением, а затем
прибавить его к исходному псевдопотенциалу
(3.44), тому же, что для диэлектрического экранирования. В данном случае
мы получим аддитивно экранированный псевдопотеп-циал.
§ 8. АДДИТИВНОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ
109
Используя обычные формулы электростатики, легко получить для
экранирующего потенциала (это потенциал отталкивания):
(О
2 П"
г < 11,
7е~
Г
(3.67)
Легко видеть, что при г 0 поведение кристаллического псевдо-потенцпала
одинаково в обеих моделях экранирования (я - Ъгг), по при больших г
согласие нарушается. Этого следовало ожидать, поскольку мы имеем дело с
другим математическим аппаратом.
Для численного сопоставления псевдопотенциалов мы должны подобрать ii,
глубину ямы аддитивно экранированного псевдо-потепциала, так, чтобы
длинноволновый предел его формфактора был таким же, как в теории
диэлектрического экранирования. Тогда мы получим два псевдопотенциала с
одинаковым средним значением, с одинаковым радиусом действия, по с
различной глу-бппой ямы, что п будет искомым проявлением различия моделей
экранирования.
Итак, вычислим формфактор потенциала, экранированного с помощью (3.67):
И/кр (д) = (д) + ИЭ1'Р (д) =
о л C0S 1Ra
-- - ЗИя -
-3
А
ЗЛс
4Ra
(3.68)
Устремляя д 0, получаем соотношение между глубиной ямы и длинноволновым
пределом формфактора:
ррр(0) = 1,2Д8-/Т. (3.69)
2
Полагая W,(P(0) = -т EF, получаем требуемое соотношение:
А = 1,2 As + 4e°f.
(3.70)
Как и следовало ожидать, формула (3.70) для оптимизированной глубины ямы
в аддитивном экранировании сильно отличается от формулы (3.49),
возникающей в теории диэлектрического экранирования. Тем важнее
оказывается результат1) расчета по (3.70): А всегда получается несколько
больше, чем Ana, но отличие для различных элементов в таблице Менделеева
не превышает 3,0%, причем для переходных металлов согласие двух теорий
оказывается лучше, чем для непереходных.
*) В целях экономии места мы не приводим здесь эти результаты, но
читатель легко может провести эти вычисления самостоятельно.
