Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
т V
» а = Т. (3-290)
2
Физический смысл кинетической энергии состоит в том, что она характеризует способность механического движения превращаться в эквивалентное количество другого вида движения, например в тепло. При вычислении кинетической энергии движение системы можно разложить на переносное поступательное осей с началом в центре инерции
92
общая механика
системы н на относительное по отношению к этим осям. Тогда кинетическая энергия T по отношению к абсолютным осям выражается через кинетическую энергию 2"' относительно движения формулой Кёнига:
mvsr
T= — + Г, (3-291)
где т — масса системы, а ¦»? — абсолютная скорость ее центра инерции. С силами Р., приложенными к точкам системы ее, кинетическая энергия в процессе движения связана формулой
dT=? dA (Р.), (3-292)
а
т. е. дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех сил, приложенных к точкам системы. Силы P^,
приложенные к точкам системы, делятся или на внешние р'*' н внутренние Р., или на заданные F., определяемые кинематическим состоянием движения точек системы, и на реакции R , возникающие от действия тел на точки системы, осуществляющих наложенные на систему геометрические и кинематические ограничения, называемые связями. Соответственно такому делению сил формула (3-292) применяется или в виде:
d T = X] dA (P<f>) + 2 dA (F). (3-293)
а а, (J *
или в виде:
dT = V dA (Fn) + 2 aA (3-294)
а а
Если по физическим свойствам связей оказывается, что сумма элементарных работ их реакций прн движении системы все время остается равной нулю, то связи называются совершенными. В случае совершенных связей формула (3-294) принимает вид:
dT= ^dA(F0). (3-295)
а
Главнейшими примерами совершенных связей, наложенных на твердые тела, составляющие данную систему, являются: закрепление одной или двух точек тела, соединение тел шарниром, соединение тел гибкими нерастяжимыми нитямн, скольженне тел по абсолютно гладким неподвижным твердым поверхностям, качение тел без скольжения по неподвижным поверхностям, взаимное скольженне тел друг по другу абсолютно гладкими поверхностями, взаимное качение одного тела по другому без скольжения.
Кинетическая энергия V относительного движения системы, по отношению к поступательно движущимся осям с началом в центре инерции, связана с силами, приложенными к точкам системы, формулой, аналогичной формуле (3-292):
dV = V dA1 (Pa)f (3-296)
а
ОБЩАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
93
где dA' (P^) обозначают элементарную работу силы на относительной скорости Va, т. е.
dA' (Ра) = (Ра, dt. (3-297)
Если силы P позиционные, т. е. зависят только от положения точек а
системы, то сумма их элементарных работ выражается формулой а а
где функции X , Y , Z зависят, вообще, от координат всех точек сн-а а а
стемы. Если окажется, что правая часть формулы (3-298) есть полный дифференциал некоторой функцнн U от координат точек системы, то
2 dA [PJ = dU. (3-299)
а
Эта функция U называется силовой, а функция П = — U — потенциальной функцией системы. Физически функция II представляет собой энергию, приобретаемую материальной системой при ее перемещении в потенциальном поле и выражающуюся работой сил поля при перемещении этой системы из конечного положения в начальное.
Через силовую функцию U или потенциальную IT проекции силы Ра на оси основной системы отсчета выражаются формулами:
X=— = -— Y = = — -^5- Z= — = -0— я дх дх ' а ду ду ' а= dz = dz '
В случае существования силовой функции формула (3-292) принимает вид:
dT=dU = — du. (3-300)
Отсюда следует, что при движении системы под действием сил, имеющих силовую функцию, в течение всего движения сохраняется равенство
Г — U = T+ П = Л, (3-301)
где Л обозначает постоянную величину. Сумма 7"+ П = E кинетической и потенциальной энергий называется механической энергией системы. и уравнение (3-301) выражает закон сохранения механической энергии системы при ее движении под действием снл, имеющих силовую функцию.
§ 3-76. Консервативные системы
Механическая система называется консервативной, если ее внутренние силы F имеют силовую функцию т. е. если
V1 dA{P )-dUe
Функция
П; = — U1 + const (3>302)
называется потенциальной энергией консервативной системы. Так как в ее определение входит произвольное постоянное слагаемое, то можно считать, что при определенной конфигурации (Со) точек системы ее потенциальная энергия =0. Тогда аначенне потенциальной энер-
94
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
гии системы при произвольной конфигурация (С) ее точек равно сумме работ внутренних сил при переходе системы HS взятой конфигурации (С) в конфигурацию (Со), при которой потенциальная энергия равна нулю. Если среди всевозможных конфигураций снстемы есть такая, при которой потенциальная энергия оказывается минимальной, то эту конфигурацию и принимают за ту, когда потенциальная энергия равна нулю. При таком выборе конфигурации (Со) потенциальная энергия П. оказывается всегда положительной. Сумма кинетической энергии T а потенциальной П. называется полной механической энергией консервативной системы.-
