Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
L0= MrCX VC + u) X 2 ma К' Га] * S таГа(<0' Га}' (3"328)
§ 3-80. Дифференциальное уравнение вращения тела около неподвижной оси
При вращении тела около закрепленной оси 00' (рис. 3-69) внешними силами являются данные силы Fa и реакции RhR' закрепленных точек. Поэтому формула dLg
(3-248) для производной _,л ¦ кинетического
dt
момента принимает вид
dL0
¦rfT^S^O <Fe) + Af0(R').
откуда для проекции на ось вращения 00' получается уравнение
-^f-=2jM00,(Fa). (3-329)
Рис. 3-69.
Принимая 00' за ось г, имеем: Lqqi = ^г2ш» и так как ^zz = cons^' то получается уравнение
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
103
(3-331)
где е — угловое ускорение тела. Это уравнение дает физический смысл момента инерции / как меры инерции тела при вращательном движении вокруг данной оси. Если положение тела определяется углом <р его поворота вокруг оси z относительно неподвижной плоскости хг, то
2j M22 (fа) выразится в виде данной функции величин t, <р, <о = -^-, а
характеризующих кинематическое состояние точек приложения данных сил, и уравнение (3-328) принимает вид:
dt2 J У' dt Г
(3-332)
формально тождественный с уравнением (3-190) движения точки по заданной гладкой кривой.
§ 3-81. Реакция закрепленных точек оси вращающегося тела
При вращении тела вокруг оси в ее закрепленных точках О и О' возникают динамические реакции R и R' (рис. 3-69). Проекции этих реакций на какие-нибудь оси xyz, неподвижные или связанные с телом, лишь бы ось z совпадала с осью вращения, определяются из уравнении:
а
rnxQt — туQ^,
-HR' = ¦ У
• І Є 4- / u)2,
xz ~'yz '
а
2 моу (fe)+ая;- - V - 7^2*
(3-333)
где h обозначает расстояние 00', a xq и координаты центра
тяжести тела. Из этих уравнений определяются вполне проекции R
R' У
R„, R', У х'
ХУ
я;
сумма проекции R 4-R'. Проекции R , у - j г г * •+ ^x' у X' у
удобно разбить на две части, полагая R^ = S + N ; R =S -j- N • R'x = S'x + N^; R'^ = -f- и выбирая для удовлетворения^уравне-
ний (3-333) слагае'мые так, чтобы S S', S , S' определялись непо-
X У у
104
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
средственно через заданные силы F^, а слагаемые .V^, N^1 Ny N' —
через угловую скорость о) и угловое ускорение є. Тогда получаются уравнения:
\ (3-334)
ЕМОх (Fe) - ^y = °' Z ^ <Fa> + ^Sx = О, а а
JV + Л\ = - m усе — mxQiu*, N +N'=mxci - m^c102»)
, , (3-335)
V+ Vе' a^--v-v- J
Если считать iV^ = = 0, то реакции RhR' можно представить в виде: R = S + N; R' = S'-f-N'. Компоненты S и S', зависящие непосредственно только от заданных сил F^, называются статическими частями реакций R и R', а компоненты N и N', определяемые угловой скоростью «о и угловым ускорением е, — динамическими добавками, или перегрузками. Если ввести ускорение центра тяжести тела, то динамические добавки определятся формулами:
Динамические добавки обращаются обе в нуль тогда и только тогда, когда ось вращения является одной из главных центральных осей вращения, т. е. когда XQ=yQ = Q\ = /^ = 0. Если центр тяжести тела лежит на оси вращения, но эта ось не является главной осью инерции, то N-j- N'= 0, т. е. динамические добавки образуют пару. Величина момента этой пары равна:
M (N, N') = Уіхг + І3уг УSnf+Ta". (3-337)
Если данные силы Fa отсутствуют, то при вращении вокруг главной центральной оси реакции RhR' равны нулю, а потому ось можно не закреплять, и тело, приведенное в начальный момент во вращение вокруг главной центральной оси и затем предоставленное самому себе, будет сохранять состояние равномерного вращения вокруг этой оси, как неподвижной. Поэтому главные центральные оси называются осями свободного вращения тела. В технических задачах обычно требуется определить не реакции RhR' закрепленных точек, а давления QhQ', оказываемые в этих точках на ось вращающихся точек. Эти, давления Q и Q' по закону равенства действия и противодействия определяются через реакции R и R' формулой Q = — R, Q' ~ — R .
I (3-336)
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
105
§ 3-82. Физический маятник
Физическим маятником называется тяжелое твердое тело, вращающееся около неподвижной горизонтальной оси под действием собственного веса.
Выбрав за плоскость ху (рис. 3-70) вертикальную плоскость, в которой движется центр тяжести С тела, и определяя положение маятника углом <р, составляемым радиусом вращения центра тяжести с нисходящей вертикалью Ох, получаем уравнение вращения маятника в виде:
/ _Д = — mga sin (3-338)
л at*
где а== ОС обозначен радиус вращения центра тяжести, am — масса маятника. Если уравнению (3-338) придать вид:
d29 g L
„---sin,, где I=^, (3-339)
то оно будет тождественно с уравнением (3-193)' движения кругового математического маятника. Потому длину /, определяемую формулой (3-337), называют приведенной длиной физического маятника или длиной эквивалентного, т. е. имеющего тот же период колебания, математического маятника.
Так как Iq2 = Iqq -f та2, где Iqq — момент инерции около центре