Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
U = - Рг. (3-261)
2) Поле центральной сили, величина которой зависит только от расстояния точки приложения до центра силы. Если проекция P^ силы на радиус-вектор г выражается формулой
Рг = /(/¦). (3-262)
то
X = f(r)-у, K = ZW^-, Z = f(r)~, (3-263)
dA = —— (xdx +ydy + ZdZ) = J (г) dr, (3-264)
U = j I {r) dr. (3-265)
ОБЩАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
89
Для упругой силы / (г) = — сг и потому
U=--. (3-266)
м
Для силы ньютонова притяжения /(/¦)=--— , где и. — постоянный коэффициент, и
U =-¦?-. (3-267)
§ 3-74. Кинетическая энергия точки
Кинетической анергией частицы массы т, движущейся со скоростью V, называется половина произведения величины массы иа квадрат величины скорости:
T=—1. (3-268)
Кинетическая энергия измеряется положительным числом с размерностью \Т] = кгс • м, т. е, в тех же единицах, что и величины момента силы и элементарной работы.
Если в процессе движения точки относительно инерциальноЙ системы ее кинетическую энергию рассматривать как функцию времени, то оиа связана с равнодействующей P сил, приложенных к точке, формулой
d(^y) = аа <р>= <р- v>dt- (3-269*
т. е. дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе равнодействующей сил, приложенных к точке. Отсюда изменение кинетической энергии за данный промежуток «j, tg) времени выражается формулой
JU|!_^ = J(P, у) Л. (3-270)
h
Скалярное произведение вектора силы на вектор скорости точки приложения называется мощностью этой силы:
(Р, V) = JV (P). (3-271)
Мощность измеряется алгебраическим числом с размерностью [JV] =
кгс • м „ ,
=- . Практической единицей мощности служит
75 = 1 л. с, (3-272)
сек 1
называемая лошадиной силой. Интеграл по времени от мощности силы P называется полной работой этой силы за промежуток времени между пределами ti и ?3:
f (P1 V) dt = А'* (P). 13-273)
90 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Равенство (3-270) записывается формулой
mv\ mv\
т. е. изменение кинетической энергии точки за данный промежуток времени равно полной работе за тот же промежуток равнодействующей сил, приложенных к этой точке. В случае силового поля полную работу за промежуток времени (tlt t2), в течение которого точка по некоторой траектории перешла из положения M1 в положение M2, можно представить криволинейным интегралом
Ah (р) = i х {х' у' z) dx + y {х' у' z) dy + 2 {х> у* г) dz (3"275) M1M2
или интегралом по дуге MiM2
S2
Ah (Р) = I Р {S) C0S а (5) ds> (3"276)
Si
если величину силы P и ее угол а с касательной к траектории выразить через значение дуги. Интеграл в формуле (3-276) называется полной работой силы поля на данной дуге MiM2:
S2
Ам\(Р) = J Р № cos а (*> ds- (з-277)
Формула изменения кинетической энергии точки при движении в силовом поле имеет вид:
О* _ m _ Af1 (P). (3-278)
Если поле потенциально и имеет силовую функцию U (х, у, г), то
J Xdx+Ydy + Zdz = J dU = M1M2 M1M2
= U (х2, у2, Z2) - U (X1, ylt Z1) (3-279)
и полная работа силы P потенциального поля при перемещении точки из положения M1 (X1, уlt Z1) в положение M2 (X2, у2, Z2) выражается формулой
Ам\ (Р) = U (*2' У2' *з) - U (*ь У и Z1), (3-280)
т. е. эта работа равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях точки. Формула изменения кинетической энергии точки при движении под действием силы потенциального поля имеет вид:
mvl mv-.
~rA- - ~- = V (х2, у2, Z2) - U(X1, ylt Z1), (3-281)
ОБШАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
91
Функция координат, отличающаяся от силовой функции знаком, т. е. функция
П (X, у, г) = — U (х, у, г), (3-282)
называется потенциальной, а ее значение — потенциальной энергией точки в данном месте поля. Формула (3-281) дает равенство
ГЛ1-2
-J-+ П (*,.у,г) = А, (3-283)
где величина ft остается постоянной в течение всего движения. Сумма кинетической и потенциальной энергий точки называется ее механической анергией;
+ П = Е. (3-284)
Равенство
E = Л (3-285)
выражает закон сохранения механической анергии точки при ее движении под действием силы потенциального поля. Поверхности, определяемые в потенциальном поле уравнением
П (х, у, Z) = С, (3-286)
при различных значениях постоянной С, называются эквипотенциальными, или поверхностями уровня. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня, определяемая уравнением
11(х. у, Z)=Il(X1, у!, Z1) = Ci. (3-287)
Вектор силы потенциального поля в данной точке Af1 (X1, ух, Z1) направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку, и притом в ту сторону, куда потенциальная энергия убывает. Для силы тяжести поверхностями уровня служат горизонтальные плоскости. При вертикальной, направленной вверх оси Oz потенциальная энергия в поле силы веса P выражается формулой
П (х, у, Z) = Pz. (3-288)
При упругой силе P = — сг
n(x,y.z)= Ч*+Я + *> (3.289)
и поверхностями уровня служат концентрические сферы с центром в центре упругой силы.
§ 3-75. Кинетическая энергия системы
Сумма кинетических энергий точек материальной системы называется кинетической энергией системы:
