Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3-60. Движение точки по заданной гладкой кривой
Если материальная точка при помощи каких-нибудь тел удерживается на кривой, математически заданной относительно инерциальной системы отсчета, но по этой кривой может перемещаться, то сила, измеряющая действие на движущуюся точку тел, удерживающих ее на заданной кривой, называется динамической реакцией этой кривой. Если к точке приложена заданная сила, то основное равенство динамики при движении по заданной кривой принимает вид:
mw = F + N, (3-189)
где N обозначает динамическую реакцию кривой, заранее не заданную. Если по добавочным физическим условиям задачи известно, что N направлена нормально к заданной кривой, то эта кривая называется динамически гладкой. Определяя положение точки на заданной кривой длиной s дуги и проектируя векторы уравнения (3-189) на касательную
74
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
к заданной кривой, получаем дифференциальное уравнение движения точки по заданной кривой в виде:
т
d*s dt*
(3-190)
где Fz обозначает проекцию заданной силы F на касательную, ориентированную в направлении отсчета дуг. Если уравнение (3-190) проинтегрировано, то вектор N динамической реакции, лежащий в нормальной плоскости к заданной кривой, определяется для заданного момента t своими проекциями Nn и N^ на главную нормаль и бинормаль к кривой по формулам:
(3-191)
где р — радиус кривизны в соответствующей точке кривой, a Fn и F^ — проекции заданной силы на главную нормаль и бинормаль в той же точке кривой. Если заданная кривая — плоская и заданная сила F лежит в той же плоскости, то реакция N целиком направлена по главной нормали и определяется первой из формул (3-191).
Если кривая задана декартовыми уравнениями Z1 (х, у, г) = Он /а (х, у, г) = 0, то кинематические уравнения движения можно определять из уравнений:
md*x _ A-\4dfit\ "/а л
mW2-Fy + Xl-dy- + X*-ay '
aft
d*z
Vi
dft
(3-192)
которые вместе с уравнениями кривой и определяют пять неизвестных
функций х, у, г, X1, Xa независимого переменного t.
§ 3-61. Круговой математический
маятник
Материальная точка, принужденная двигаться в вертикальной плоскости по заданной динамически гладкой окружности (рис. 3-64) при действии силы веса, называется круговым математическим маятником. Радиус / окружности называется длиной кругового маятника (рис. 3-64). Положение маятника определяется углом <р, составляемым его радиусом с нисходящей вертикалью, причем угол, отсчитанный в направлении против хода часовой стрелки, считается положительным, а отсчитанный по ходу часовой стрелки — отрицательным. Угол <р определяется из дифференциального уравнения
Рис. 3-64.
5?: = - 4 sin 9
(3-193)
при начальных данных ^=5Po =0» / ("^) = vo* Скорость v при этом дается формулой
1p
-pa = т)2 — 4g/ sina .
v 4
(3-194)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 7S
найти угол і такой, что В этом случае
«jj-=4#sln«.L.
зіп2 -I- — sin* -
(3-196)
2 2 /
и движение маятника представляет колебание по дуге — 7 ^ ? ^ ]. Период размаха определяется формулой
±1
dtp
IV
sin* ± — sina-i-
dtp
(3-197)
• sin2 -
Подстановка sin sin <|i = sln-|- дает:
it/2
: = 2І/Ї f _
j/~l — sin2 -1 sin* ф
(3-198)
Полученный интеграл называется полним эллиптическом интегралом первого рода и обозначается п/2
-J
j/~l — sinsisinacfi
(3-199)
(3-200)
Значение К зависит от 7, так что колебания маятника не тавтохронны. Значения К можно брать из таблицы:
1
К
T
К
0°
1,5708
60°
1,6258
5"
1,5715
90°
1,8541
10°
1,5738
120°
2,1565
20"
1.5828
150°
2,7681
40°
1,6200
180°
CC
Приближенная формула для Л" при небольших значениях 7 имеет вид:
+ ein«-I. (3-201)
При «2 > igt маятник совершает полные обороты. При «2 < igt можно
(3-195)
76
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
7 T
При весьма малых т полагают sin ~ = ~ , и тогда
Если ¦J столь мало, что членом ~- можно пренебречь, то
ib
(3-202)
(3-203)
Так как эта формула не содержит у, то малые колебания маятника
¦у 2
можно считать тавтохронными. Значения 1 -f- jg можно брать из таблицы:
1 + Т2/16
5° 10° 20е
1,0005 1,0019 1,0076
можно заменить приближенным:
dt* ^ I *
T
1+72/16
40°
1,0304
60=
1,0684
90°
1,1539
(3-143)
для малых
0,
(3-204)
которое имеет вид уравнения гармонических колебаний (3-176) при
аг
k* =-у . Реакция окружности направлена по радиусу и имеет алгебраи-
ческое значение N, считая положительным направление радиуса к центру:
N = —--\- mg cos ср
I
mvl <p
— 4mg sin2 ~ -f- mg cos <p.
(3-205)
it
При <p <C -jr , т. е. на нижней полуокружности, N заведомо положи-
тельно, реакция направлена к центру, и маятник можно осуществить при помощи нити, прикрепляющей движущуюся точку к центру окружности. Для того чтобы реакция окружности во всех точках была направлена к центру, должно быть т>2 > bgl.
§ 3-62. Относительное движение точки по заданной подвижной гладкой кривой
