Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
V^= S M0(Pj^), (3-249)
а
и в этом виде она выражает правило Резаля: скорость конца вектора кинетического момента около начала инерциальной системы равна сумме векторов моментов около того же центра внешних сил, приложенных к точкам системы. Для кинетического момента L^ в относительном движении системы около ее центра инерции, т. е. в движении относительно системы S' отсчета, начало которой совпадает с центром С инерции и которая движется поступательно по отношению к инерциальной системе, имеет место формула
dh'c
-tfT=SMC(pa(^, (3-250)
т. е. теорема о кинетическом моменте в этом относительном движении имеет тот же вид, как в абсолютном. В осях хуг или х'у'г' формулы (3-248) и (3-250) принимают вид:
di \ <3*251>
dt
2 MCx' (PeW>. dV
dV
a
dt
/-S (P.W).
a
> (3-252)
Если сумма моментов внешних сил около какой-нибудь оси системы 5 или системы S' остается постоянно равной нулю, например
ОБЩАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
87
S ШОх (р„(в)) = 0 или Mqx, (Ра'е)) = 0, то соответственно Lx = а а
= const, VxI = const или V т dS"x =, const и Ym ^?_їі! = const,
т. е. остается постоянной сумма произведений масс на секторные скорости их проекций на плоскость, перпендикулярную к той оси, около которой равна нулю сумма моментов внешних сил. Если
S М0 (ра'е') = 0 нлн 2 МС (ра'е')=°. т0 указанное свойство имеет а а
место для любой плоскости, проходящей через О или С. В этом случае Lq = const или Lq = const. Следовательно, плоскости (п) или (u.'), перпендикулярные к векторам Lq или Lq, сохраняют в пространстве постоянное направление. Сумма произведений масс точек системы на секторные скорости (относительно начала О нли С) проекций этих точек на плоскости Uq нли uq, проходящие через точки О или С, имеет наибольшую постоянную величину, если плоскости перпендикулярны соответственно к Lq или Vq^
§ 3-72. Элементарная работа силы
Скалярное произведение вектора какой-нибудь силы F, приложенной к движущейся точке, на вектор скорости V этой точки, умноженное на элемент dt времени, называется элементарной работой значения силы F в данный момент времени:
(M = (F, V) dt. (3-253)
Элементарная работа представляет собой алгебраическое именованное число, измеряемое единицами [А]= кгс • м. Через проекции силы F на оси системы отсчета, относительно которой взята скорость V, элементарная работа выражается формулой
dA = Fxdx + Fy dy + Fz dz, (3-254)
где дифференциалы координат вычислены для того же значення дифференциала dt времени, как и сама элементарная работа.
Через дифференциал ds дуги траектории и угол а, составленный вектором F силы с касательной, ориентированной в направлении отсчета дуг, элементарная работа выражается формулой
dA = \F\ cos a ds = F^ ds, (3-255)
где F есть проекция силы на ориентированную указанным образом
касательную. Если сила есть равнодействующая сил F^ (6=1, 2.....я),
приложенных к той же точке, то
п
dA (F) = Y1 dA (Fft), (3-256)
ft = 1
т. е. элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих.
88
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
§ 3-73. Силовое поле
Если сила F является позиционной, т. е. определяется только положением точки, то по формуло (3-255) элементарную работу можно вычислять независимо от процесса движения, по произвольно заданному перемещению ds точки из того положения, для которого взято значение силы F. Если часть пространства вследствие действия некоторых тел находится в таком состоянии, что в каждой ее точке возникает приложенная к материальной частице, помещенной в этой точке, сила, зависящая только от положения этой точки и момента времени, но не от ее скорости, то эта часть пространства называется силовым полем. Силовое поле, силы которого не зависят от времени, называется стационарным.
Для стационарного поля проекции Fx, F , F2 силы поля являются функциями только координат х,у, z точки приложения и формула (3-255) элементарной работы получает вид:
dA = X (х, у, z)dx-\-Y (х, у, z) dy -f Z {х, у, z) dz, (3-257)
где X = Fx, Y = Fy, Z = FZt
В тех случаях, когда правая часть формул (3-257) математически является полным дифференциалом некоторой функции U (х,у, г) координат, т. е.
X (х, у, г) dx 4- Y (х, у, z)dy + Z (х, у, z) dz = dU (х, у, Z)1 (3-258)
силовое поле называется потенциальным, а функция U (х, у, Z) — си-ловой функцией. В случае потенциального поля проекции Fx, F , F2 силы выражаются через силовую функцию формулами: ^
Р ™, Р™, Р ™. (3-259)
X дх у ду Z дг
Математическим признаком того, что силовое поле является потенциальным, служит выполнение равенств:
= дХ_ dZ_ = dY_ дХ_ = dZ_
дх ду ' ду дг ' дг дх '
Примерами потенциальных силовых полей служат:
1) Поле ewiu тяжести. Если ось Z направить вертикально вверх, то X — Y = 0; Z = — Р; IiA = — Pdz = d (—Pz), т.е. для силы тяжести силовая функция выражается в указанных осях формулой
