Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
2 dA (pW) = ((D, 2 м0 (РІв))) dt. (3-351)
а а
Т&к как (ы, ^ Mq(P^))=to ^F1 Mqqi (P^), то в случае вращения
а а
тела вокруг оси имеем:
? <ма(РІе)) = S М00- (P Jf)) • Л.
а а
откуда мощность AT системы сил, приложенных к телу, вращающемуся вокруг оси, выражается формулой
^=S M00, (P^)) со. (3-352)
а
§ 3-86. Кинетическая энергия твердого тела
Если тело движется поступательно со скоростью V, то кинетическая энергия выражается через массу m тела формулой
T=Zg-. (3-353)
При вращении вокруг неподвижной или мгновенной оси OK с угловой скоростью со кинетическая энергия выражается через момент инерции формулой
T=1OK^-' (3-354)
Если точку О принять за начало осей хуг, то через проекции угловой скорости и компоненты тензора инерции по этим осям кинетическая энергия выражается формулой
Т~Т ('хх *х + 'уу°у + hz "1 - 21угшушг -
В частности, если за оси Охуг приняты главные оси инерции, то формула примет вид:
T=j (А со * + Всо J + Соф. (3-356)
Если положение тела определяется эйлеровыми углами <р, б, то через
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Ю9
их производные ф, <р, 8 кинетическая энергия на основании зависимостей (3-55) выражается формулой
T= [J (sin «р sin 6 - 4> -f cos <р -
1)2 + (cos <р sin Є . ф - sin ср . 8)2 -f.
+ T (cos8.6-f-cp)2j,
(3-357)
причем за оси xyz взяты главные оси инерции, связанные с телом. Если ось z служит осью динамической симметрии, т. е. Ix^ = I = А, то формула (3-357) получит вид:
T=Y [С<р2 + А (ф2 _|_ Q2) _}_ (С — A) COS2 0 • -|_2 С COS 8 • срф],
(3-358)
где C = I1
Если тело свободно, то его кинетическая энергия выражается через массу т, скорость Vq центра тяжести, мгновенную угловую скорость со и момент инерции /ш около оси, проходящей через центр тяжести параллельно вектору cd, формулой Кента:
mvC
1 9 ~Г г, •
(3-359)
Так как для твердого тела сумма элементарных работ внутренних сил равна нулю, то формула (3-292) для дифференциала dT кинетической энергии в случае твердого тела принимает вид:
dT= S dA (Р(/})
(3-360)
т. е. изменение кинетической энергии твердого тела зависит только от ьнейших сил, прпложенных4к нему.
§ 3-87. Динамические уравнения Эйлера для вращения тела вокруг неподвижной точки
Если тело вращается вокруг неподвижной точки О, то, приняв ее за начало осей xyz, связанных с телом, получим из формулы (3-249), выражающей правило Р$заля, следующие зависимости между проекциями Lx, Ly L2 кинетического момента тела, проекциями со^, со^, со^ его угловой скорости и моментами Mqx(F0), MQy(F^), Mq2(F^) данных сил около этих осей:
dt
dL
df-+%lx-"xl^zMoy^-
dL,
а
Если, в частности, за оси Oxyz взяты главные оси инерции тела, то
(3-361)
по
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
на основании формул (3-324) эти уравнения получают форму of со
А *+(C-dt
b2^0*(Fe).
а
а
(3-362)
и называются динамическими уравнениями Эйлера.
Правые части этих уравнений зависят, вообще, явно от момента t времени, положения тела, определяемого углами Эйлера ф, <р, б, и проекций тх, oiy, Oi2 угловой скорости. Поэтому, если к этим динамическим уравнениям присоединить три формулы (3-55), т. е. уравнения:
<о^=ф sin 9 sin 8 -f- б cos <p, «у=4' cos <p sin 8 — 8 sin <p, <o^ = 4» cos 8 -|- <J,
'(3-363)
то уравнения (3-362) и (3-363) дадут систему шести дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными функциями ф, <р, б, (ох, о , <о2. Следовательно, они при заданных начальных положениях тела и начальной угловой скорости вполне определяют вращение тела около неподвижной точки под действием данных сил.
§ 3-88. Уравнения движения свободного тела
В общем случае движение свободного твердого тела можно определить, зная движение его центра тяжести и вращение тела вокруг этого центра относительно осей, движущихся поступательно и имеющих начало в центре тяжести. Последнее движение определяется уравнениями (3-362) и (З-ЗбЗ).если считать.что начало осей совпадает с центром тяжести тела. Вместо непосредственного определения движения центра тяжести относительно неподвижных осей употребляются уравнения, определяющие проекции V , V , V скорости центра тяжести на оси xyz, свя-
занные с телом. Эти уравнения имеют вид:
dt dV„
+<
) V —(О
у г г
ay
JLAr-(O V —со V =—--
dt ^ zvx xvz т
dV
dt Л X у шу vx
2
(?-364)
где m - масса тела.
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
111
§ 3-89. Вращение гироскопа
Тело, вращающееся около неподвижной точки О, называется гироскопом, если эллипсоид инерции в этой точке оказывается эллипсоидом вращения. Ось вращения этого эллипсоида называется осью гироскопа. Если за ось z системы xyz, неизменно связанной с телом, принять ось гироскопа, то главные моменты инерции Iхх и / будут равны между собой: /^ =/^ = Л. Поэтому третье динамическое уравнение Эйлера (3-362) для гироскопа принимает вид: ?f СО
С-^ = ? ^Os(Fx)- (3-365)
а
Физическим примером гироскопа служит материальное симметричное тело, вращающееся около одной из точек оси симметрии. При вращении гироскопа его ось z, вектор со угловой скорости и вектор Lq кинетического момента всегда лежат в одной плоскости.