Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Яковлев К.П. -> "Краткий физико-технический справочник" -> 38

Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.

Яковлев К.П. Краткий физико-технический справочник: Справочник. Под редакцией Яковлева К.П — ФИЗМАТГИЗ, 1960. — 411 c.
Скачать (прямая ссылка): kratkiyslovar1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 136 >> Следующая


2 dA (pW) = ((D, 2 м0 (РІв))) dt. (3-351)

а а

Т&к как (ы, ^ Mq(P^))=to ^F1 Mqqi (P^), то в случае вращения

а а

тела вокруг оси имеем:

? <ма(РІе)) = S М00- (P Jf)) • Л.

а а

откуда мощность AT системы сил, приложенных к телу, вращающемуся вокруг оси, выражается формулой

^=S M00, (P^)) со. (3-352)

а

§ 3-86. Кинетическая энергия твердого тела

Если тело движется поступательно со скоростью V, то кинетическая энергия выражается через массу m тела формулой

T=Zg-. (3-353)

При вращении вокруг неподвижной или мгновенной оси OK с угловой скоростью со кинетическая энергия выражается через момент инерции формулой

T=1OK^-' (3-354)

Если точку О принять за начало осей хуг, то через проекции угловой скорости и компоненты тензора инерции по этим осям кинетическая энергия выражается формулой

Т~Т ('хх *х + 'уу°у + hz "1 - 21угшушг -

В частности, если за оси Охуг приняты главные оси инерции, то формула примет вид:

T=j (А со * + Всо J + Соф. (3-356)

Если положение тела определяется эйлеровыми углами <р, б, то через

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Ю9

их производные ф, <р, 8 кинетическая энергия на основании зависимостей (3-55) выражается формулой

T= [J (sin «р sin 6 - 4> -f cos <р -

1)2 + (cos <р sin Є . ф - sin ср . 8)2 -f.

+ T (cos8.6-f-cp)2j,

(3-357)

причем за оси xyz взяты главные оси инерции, связанные с телом. Если ось z служит осью динамической симметрии, т. е. Ix^ = I = А, то формула (3-357) получит вид:

T=Y [С<р2 + А (ф2 _|_ Q2) _}_ (С — A) COS2 0 • -|_2 С COS 8 • срф],

(3-358)

где C = I1

Если тело свободно, то его кинетическая энергия выражается через массу т, скорость Vq центра тяжести, мгновенную угловую скорость со и момент инерции /ш около оси, проходящей через центр тяжести параллельно вектору cd, формулой Кента:

mvC

1 9 ~Г г, •

(3-359)

Так как для твердого тела сумма элементарных работ внутренних сил равна нулю, то формула (3-292) для дифференциала dT кинетической энергии в случае твердого тела принимает вид:

dT= S dA (Р(/})

(3-360)

т. е. изменение кинетической энергии твердого тела зависит только от ьнейших сил, прпложенных4к нему.

§ 3-87. Динамические уравнения Эйлера для вращения тела вокруг неподвижной точки

Если тело вращается вокруг неподвижной точки О, то, приняв ее за начало осей xyz, связанных с телом, получим из формулы (3-249), выражающей правило Р$заля, следующие зависимости между проекциями Lx, Ly L2 кинетического момента тела, проекциями со^, со^, со^ его угловой скорости и моментами Mqx(F0), MQy(F^), Mq2(F^) данных сил около этих осей:

dt

dL

df-+%lx-"xl^zMoy^-

dL,

а

Если, в частности, за оси Oxyz взяты главные оси инерции тела, то

(3-361)

по

ОБЩАЯ МЕХАНИКА

на основании формул (3-324) эти уравнения получают форму of со

А *+(C-dt

b2^0*(Fe).

а

а

(3-362)

и называются динамическими уравнениями Эйлера.

Правые части этих уравнений зависят, вообще, явно от момента t времени, положения тела, определяемого углами Эйлера ф, <р, б, и проекций тх, oiy, Oi2 угловой скорости. Поэтому, если к этим динамическим уравнениям присоединить три формулы (3-55), т. е. уравнения:

<о^=ф sin 9 sin 8 -f- б cos <p, «у=4' cos <p sin 8 — 8 sin <p, <o^ = 4» cos 8 -|- <J,

'(3-363)

то уравнения (3-362) и (3-363) дадут систему шести дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными функциями ф, <р, б, (ох, о , <о2. Следовательно, они при заданных начальных положениях тела и начальной угловой скорости вполне определяют вращение тела около неподвижной точки под действием данных сил.

§ 3-88. Уравнения движения свободного тела

В общем случае движение свободного твердого тела можно определить, зная движение его центра тяжести и вращение тела вокруг этого центра относительно осей, движущихся поступательно и имеющих начало в центре тяжести. Последнее движение определяется уравнениями (3-362) и (З-ЗбЗ).если считать.что начало осей совпадает с центром тяжести тела. Вместо непосредственного определения движения центра тяжести относительно неподвижных осей употребляются уравнения, определяющие проекции V , V , V скорости центра тяжести на оси xyz, свя-

занные с телом. Эти уравнения имеют вид:

dt dV„

+<

) V —(О

у г г

ay

JLAr-(O V —со V =—--

dt ^ zvx xvz т

dV

dt Л X у шу vx

2

(?-364)

где m - масса тела.

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

111

§ 3-89. Вращение гироскопа

Тело, вращающееся около неподвижной точки О, называется гироскопом, если эллипсоид инерции в этой точке оказывается эллипсоидом вращения. Ось вращения этого эллипсоида называется осью гироскопа. Если за ось z системы xyz, неизменно связанной с телом, принять ось гироскопа, то главные моменты инерции Iхх и / будут равны между собой: /^ =/^ = Л. Поэтому третье динамическое уравнение Эйлера (3-362) для гироскопа принимает вид: ?f СО

С-^ = ? ^Os(Fx)- (3-365)

а

Физическим примером гироскопа служит материальное симметричное тело, вращающееся около одной из точек оси симметрии. При вращении гироскопа его ось z, вектор со угловой скорости и вектор Lq кинетического момента всегда лежат в одной плоскости.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed