Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
x
v2 = v2^.a^ f(x)dx. (З-168)
*0
весом P и массой т точки равенством P = mg. При начальных данных t0 = 0, х0 =у0 = z0 = V0x = VQy = V02 = O приближенные (с
точностью до членов порядка <о2) решения уравнений (3-162) имеют вид:
я-о.у-?2!2.*.ж-%. (3-163)
Следовательно, падающая точка отклоняется от вертикали к востоку. При падении с высоты h отклонение на поверхности Земли имеет величину
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 71
Движение происходит на отрезке оси Ох, на котором функция
X
* M =¦•»§ + ! J / (*) Чх (3-169)
X0
не отрицательна: ф (х) > 0. Если уравнение ф (х) = 0 имеет два простых корня Л] и дг2, между которыми лежит начальная абсцисса ха, так что Ф = Ф ('«I = °> V1 (*і) > °. Ф', (JC«) < °. то движение представляет собой колебания на отрезке X1^x ^Xz с периодом
2т =- 2 С /* . (3-170)
" І Vit (X)
Эти колебания называются изохронными, так как их период постоянен. При т>о<0 первый момент <і, когда точка достигает конца интервала колебания и получает скорость, равную нулю, определвется формулой
X0
, f Лх
U = 1O + i : последующие моменты, в которые V = 0, связаны
друг с другом соотношением <n =- -)- т.
§ 3-57. Гармонические колебания точки
Если сила P выражается формулой
Px = - сх. (3-П1)
т. е. вектор P направлен к центру О и по величине пропорционален
отклонению движущейся точки от этого центра, то формула (3-169) дает:
ф (X) = *з (at _ х>), (3-172)
где
А* = - (3-173) т
xi -f. А»ті2 = ЫаК (3-174)
Движение происходит на интервале — a ^ х и имеет период колебания
2т = j . (3-175)
Так как период не вависит от начальных данных, то эти колебания называются не только изохронными, но и тавтохронными, т. е. с одним и тем же периодом; дифференциальное уравнение колебаний на основании формул (3-171) и (?-173) принимает вид:
j^ + A2jr = 0. (3-176)
Его решение при начальных данных t0 =0, х0, Vq имеет вид:
X = a sin (Af + а), (3-177)
72 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
где
+ <*°+"*°>2 , ctg? = ^±^. (3-184) со 2 » QiX0
Движение носит колебательный характер.
Скорость обращается в нуль в моменты t, находимые из уравнения
tg К + P) = ? . (3-185)
где а определяется формулой (3-174), а угол а — формулами?
sin a .= -°, cos а - . (3-178)
а Ra
Длина а называется амплитудой колебании, угол kt -{- а — фазой колебания. Сами колебания, происходящие по закону (3-177), называются гармоническими. Если, кроме силы P с проекцией Px = — сх,
к точке по той же оси Ox приложена постоянная сила с проекцией Q, то дифференциальное уравнение колебания имеет вид:
^+ (3-179)
ota т
Q d*x*
Подстановка х = х' -р^ сводит это уравнение к "Ь ^8*' ~ О»
Х'2 X'
Следовательно, х* = a' sin (kt -f- а'), где а'2 « ~-\-v2, since'—=— ,
я* о а
cosa'=-^-. Таким образом, от добавления постоянной силы колебала'
ния остаются гармоническими с тем же периодом 2т *¦ — , но центр
колебания смещается в точку, в которой P -HQ=* 0, т. е. в точку возможного равновесия под действием обеих сил.
§ 3-58. Затухающие колебания
Если на точку, кроме силы P с проекцией P^«* — сх, действует сила сопротивления, направленная против скорости и по величине ей
пропорциональная, т. е. сила N с проекцией N =» — X — , и точка со-
X at
вершает прямолинейное движение, то дифференциальное уравнение движения имеет вид:
Ш + 2п7її + к2х=°0' (3_180)
где я2 определяется формулой (3-173) и
2/г = — . (3-181) т
При
k2 _ П2 = 0)2 > о (3-182)
и начальных данных t0 = 0, х0, V0 решение этого уравнения имеет вид:
X = be- nt sin (a>t -f- !?), (3-183)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 73
Следовательно, эти моменты образуют арифметическую прогрессию с разностью
т=^, (3-186)
а соответствующие им отклонения точки от начала, в котором сила P = O, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
яте
г) = е <°. (3-187)
Величина ^ называется логарифмическим декрементом колебания.
§ 3-59. Колебания при наличии кулонова трения
Если на точку веса Q, кроме силы P с проекцией P = — сх,
действует еще сила трения, направленная против скорости и имеющая постоянную величину /Q, то движение останется колебательным с тем
2тс
же периодом 2т = , как при отсутствии трения, но максимальные
отклонения от начала координат, в котором сила Р = 0, по абсолютной величине будут уменьшаться в арифметической прогрессии на вели-
чину 2 ~ за полупериод. Если начальное отклонение имеет абсциссу х0,
то последующие абсциссы максимальных отклонений определяются формулой
*п - <- 1K X0 - 2??) . (3-188)
При некотором я величина | Jfл | <-^f- » где Д есть коэффициент тре-
C fig
ния при покое (Д > /). При этом я величина | P^ | = с | ^л | < -^-.
Следовательно, | P- I < fiQ, а потому в этот момент / движение точки
2fig
окончится. На этом основании отрезок длины с центром в Ha-
ft*
чале, где Р = 0, называется мертвой зоной, а сами колебания точки называются останавливающимися.
