Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
В случае плоского движения применение полярных координат р и <р дает уравнения:
rrfSo /rf»\ai _ т d 1 . di\ _ -
68
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Наконец, можно проектировать основное равенство mw = P на оси естественного трехгранника, построенного в точке траектории, соответствующей данному моменту t, т. е. на касательную, главную нормаль и бинормаль, и тогда естественные дифференциальные уравнения примут вид:
dv ті»2
таТ = рт -р- = o = Pbf (3-153)
где р — радиус кривизны, а Рт, Pn, P^ — проекции силы P на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории.
§ 3-51. Движение тяжелой точки
Если принять Землю за инерциальную систему и направить ось Oz вертикально вверх, то уравнения движения точки под действием только силы веса P будут:
d*x__ d2у _ d*z _ _
dt* ~ ' dt* ~~ ' dt* ~~ 8'
Если начальные данные имеют вид:
t0 = 0; х0=Уо = Z0=O; VQx = 0, ^=K0COSa, VQz=v0 sin a, (3-154)
то движение происходит в вертикальной плоскости (3-42) по уравнениям:
St*
у = v0t cos а; г = v0t sin a — ~. (3-155)
Траектория лежит на параболе
Z=ytS*- 2j?sa . . (3-156)
Дальность полета, т. е. расстояние от начального положения до места падения на землю, выражается формулой
i>2sin 2a
L = 0 . (3-157)
При учете сопротивления воздуха, считая силу сопротивления направленной противоположно скорости и по величине пропорциональной ей, дифференциальные уравнения имеют вид:
d*x .dx d*y udy d*z udz
di* = -kop m = -kirv лі—(3"158)
если сила N сопротивления выражается формулой N = — XV и k =» Ig
— pi гДе P—вес точки.
При прежних начальных данных (3-154) движение происходит в вертикальной плоскости yz по уравнениям:
, _а« - (, - е- . — f. (2A-If + * ) (1 - *-"). (3-159,
„ . Vn cos a „ Траектория лежит на кривой, имеющей асимптоту у = -. При
величине сопротивления, пропорциональной квадрату скорости, т. е.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
69
JV = Ct)2, при тех же начальных данных (3-154) и при a ^ 15° приближенное уравнение траектории имеет вид:
Z = У tg " ~ 47% ('ПСХ - - о. где X = 1,017 н B0 = Xt)0 cos а.
§ 3-52. Центральные силы
Сила P называется центральной, если линия ее действия проходит через неподвижную точку основной системы отсчета. Движение точки под действием центральной силы происходит по плоской кривой, плоскость которой проходит через центр силы. Принимая эту плоскость за координатную и пользуясь полярными координатами (р, <?), получим дифференциальные уравнения движения точки согласно формуле (3-152) я виде:
где P есть алгебраическая величина проекции центральной силы P на полярный радиус-вектор. Отсюда
P2^ = C (3-160)
Так как по формуле (3-28) р2 ^ =^ представляет удвоенную секторную скорость точки, то при движении под действием центральной силы секторная скорость относительно центра силы остается постоянной. Если уравнение траектории в полярных координатах имеет вид:
и = - =/ (<р). то через постоянную С скорость V и сила P определяются формулами Бине-
T)2
P
\ (3-161)
§ 3-53. Свободное падение точки с учетом вращения Земли
Если за оси координат взять нисходящую вертикаль Oz, определяемую по направлению отвеса, касательную Ox к меридиану, направленную к северу, и касательную Oy к параллели, направленную на восток, то дифференциальные уравнения свободного падения точки по отношению к этим осям будут иметь форму
d*x dt*
dy day „ ( . dx , dz\
=--itosin,,^.. = 2ш (,ш f T +cos f ж).
d*z „ dy
а. см ,^.
(3-162)
где ш — угловая скорость вращения Земли вокруг оси; <р — широта, считаемая постоянной; ускорение g связано с измеряемым статическим
70 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Д =
g(n cos <р (2h\ 8/2
(y)/S. (3-164)
§ 3-54. Прямолинейное движение точки
Прямолинейное движение происходит под действием силы постоянного направления при начальной скорости, равной нулю или параллельной линии действия силы.
Если прямую, по которой происходит прямолинейное движение, принять за ось Ох, то дифференциальное уравнение движения под действием силы P имеет вид:
d*x л I. dx\
т т = f v-*• жУ (3-|65)
где
f ('• *• ж) - Рх-
Уравнение (3-165) можно заменить двумя уравнениями первого порядка:
dv dx
т = /(*,*. — = v (3-166)
с начальными значениями to, х0, v0.
§ 3-55. Вертикальное падение точки при сопротивлении, пропорциональном квадрату скорости
Если сила сопротивления N = Xv*, то при начальных данных *о
= xq = vq = 0 И ВЄСЄ P ТОЧКИ
v = ath (Ш), x^-j In Ch {Ш), (3-167)
где «S = T^x; * Я*
§ 3-56. Прямолинейные колебания точки под действием
позиционной силы
Сила, зависящая только от положения точки, называется позиционной. При прямолинейном движении по оси Ox проекция позиционной силы выражается формулой P=/ (х). При начальных данных f0, х0, vq
скорость v определяется формулой
