Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
*В
mV (tB) - mV (tA) = J P (t) dt: >A
а в проекциях на оси системы отсчета:
'В
mVx(tB)-mVx(tA)= J Px (t) (А tB
dt;
tVy(tB)-mVy(tA)= ^ Py(f)dt; .
mVz (tB) -mV2 (tA) = ]' P2 Kt) dt.
1A
(3-231)
(3-232)
ОБЩАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
83
Количеством движения системы называется свободный вектор Q. равный сумме векторов q количеств движения всех точек системы в данный момент:
Q = ^q1 = V]V4. (3-233)
а а
Этот вектор q можно рассматривать как количество движения воображаемой точки с массой т, равной сумме масс точек системы и движущейся со скоростью V q центра инерции системы. Физически вектор Q представляет собой меру механического движения, характеризующую способность передаваться последнего от одних материальных частиц другим в форме механического же движения. С силами, приложенными к точкам системы, количество движения этой системы связано уравнением
а изменение количества движения за данный промежуток (/д, t?) времени выражается формулой
Q Vb> - Q «a' = S { р1<?' Ю <« = J Jj *• (з"235»
Следовательно, внутренние силы не оказывают влияния на изменение количества движения системы. В случае
2 P^ = O (3-236)
для всех моментов времени имеем: Q = const, т. е. количество движения такой системы остается неизменным.
§ 3-69. Уравнение Мещерского для поступательного движения ракеты
Масса ракеты, равная сумме масс ее корпуса и заключенного в ней в данный момент горючего, является функцией времени т (t). Если скорость истечения газов, образующихся при сгорании горючего, по отношению к корпусу ракеты есть с, то скорость поступательного движения ракеты определяется из уравнения
mM^_p(.) + 4»c. (3-237)
где р(с) есть сумма векторов внешних сил, приложенных к ракете. Вектор
(3-238)
84
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
направлен противоположно вектору с, так как — — ¦ <z 0, и называется
реактивной силой ракетного снаряда. При отсутствии внешних сил, при прямолинейном движении ракеты и при постоянной скорости с истечения горючего скорость ракеты, при начальных данных tQ = vQ = О, в момент t определяется формулой
где /7I0 обозначает начальную массу, т. е. т0 = т (0).
§ 3-70. Момент количества движения
Векторное произведение радиуса-вектора г движущейся точки на вектор ее количества движения называется вектором момента количества двичеенич около начала радиуса-вектора точки:
(3-239)
Вектор момента количества движепия измеряется единицами: [I] = S= кгс • м • сек. Аналитически в осях хуг вектор момента количества движения выражается формулой
(3-240)
і
і
k
X
У
г
dx
dy
mw
dz m Чі
dt
Проекпии Ix, I , lz вектора момента количества движения называются осевыми моментами количества движения и выражаются формулами:
У
Z
dy
mTt
dz m4t
г
X
dz mTt
dx
m4t
X
У
dx mdt
dv
m4t
( dz dy\
тУучі-гчі>-
( 'dx dz \
¦тУгчі-хчї>-
( dy dx\
m\x4i-y4t>-
(3-241)
Эти проекции можно записать в виде:
г_ = 2т
dt
Іу=їт
dS
'dt'
I. = 2m
d?z dt
(3-242)
dS, dS„ dS,
dt ' dt
dt
обозначают секторные скорости относительно
ОБЩАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
83
начала О проекций движущейся точки соответственно на координатные плоскости yz, zx, ху.
С вектором P равнодействующей сил, приложенных к движущейся точке, ее момент количества движения около начала инерциальноЙ системы отсчета связан формулой
-^f = M0 (P). 0.243)
В проекциях на оси хуг эта формула дает:
dl dl , dl
if = MOx <p>' -af = MOy (p). df = ШОг (P)- (3"244»
В случае центральной силы Mq (P) = O1 а потому Iq = const. Траектория точки в этом случае лежит в плоскости, перпендикулярной к постоянному вектору Iq, и движение в этой плоскости происходит по формуле Бине (§ 3-52).
§ 3-71. Кинетический момент системы
Кинетическим моментом Lq механической системы около начала О системы отсчета называется геометрическая сумма векторов моментов около того же начала количеств движения всех точек системы:
ьо=гл=;? с* * V- (з-245)
а а
Проекции вектора Lq на оси хуг называются осевыми кинетическими моментами и определяются формулами:
(3-246)
Если, кроме инерциалыюн системы отсчета S, ввести еще подвижную систему S', начало О' которой совпадает с центром С инерции механической системы и которая движется по отношению к инерциальноЙ системе S поступательно, то кинетический момент Lg в абсолютном
движении будет связан с кинетическим моментом Lq в относительном движении формулой
L0 = LC + rC X mVC' (3-247)
где l'c = 5] {т'а X m\'a).
a.
86
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
С силами, приложенными к точке системы, кинетический момент Lq около начала инерциальной системы связан формулой
2м0(Рв('>), (3-248)
т. е. внутренние силы никакого влияния на изменение абсолютного кинетического момента не оказывают.
dL0
Если производную ¦ рассматривать как скорость точки К, лежа-
щей на конце вектора Lq, то, отвлекаясь от размерности этой скорости, формулу (3-248) можно написать в виде:
