Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
T+П. = ?. (3-303)
Полная механическая энергия консервативной системы в данный момент равна по абсолютной величине и противоположна по знаку сумме работ внешних сил, которые следует приложить к точкам системы, чтобы она перешла из данного состояния в такое, при котором полная энергия обращается в нуль. Это конечное состояние физически будет представлять собой покой при такой конфигурации (Со) точек снстемы, когда потенциальная энергия П. обращается в нуль.
Глава 3-8
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА § 3-77. Моменты ннерцин массы тела
Моментом инерции массы тела относительно плоскости (П) называется сумма произведений масс т частиц тела на квадраты нх расстояний / до данной плоскости: а
/(П)=.? I3"304»
а
Моментом инерции массы тела относительно оси LL называется сумма произведений масс т. частиц тела на квадраты их расстояний р. до данной оси:
1LL = S тА- ^-305'
а
Моментом инерции массы тела относительно точки О называется сумма произведений масс т^ точек тела на квадраты их расстояний г^ от данной точки:
'0=2«1/'. (3-306)
а
Моменты инерции измеряются положительными числами с размерностью
[/] = кгс ¦ м ¦ сек*. (3-307)
Обыкновенно момент инерции выражается в виде произведения массы пі тела на квадрат некоторой длины ft, называемой радиусом инерции тела относительно плоскости, оси или центра, так что
/ — ткК
(з-зод
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
95
(3-309)
Пели точку О принять за начало прямоугольных осей хуг, то получим формулы:
1KyOz) = ттах1- 1KzOx) = S таУІ- 1CxOy) = ті та*1-а а а
а а
1ZZ = h та <** +-V2>-
а
10=%та (*ї+.УІ + 4>-
а
Если тело рассматривается как сплошное, заполняющее объем V с плопюстью 8, то формулы (3-309) заменяются следующими:
1(уОг) =Ш axdydz, 1(г0х) = Ш h3 dxdydz.
(V)
(V)
1KxOy) = ? ^ 8*2 dxdydz,
(V)
'« = Ш!(^ + *2) dxdydz' 'yy = И $5l*2 + л2) dxdydz>
(V) (V)
Ггг = §§§1(х» + у») dxdydz,
(V)
I0 = ? ? ? s (j,s + jtf + *S) dxdydz.
(V)
(3-310)
Если плотность 8 постоянна, то ее выносят за знак интеграла. Оставшиеся интегралы называются геометрическими моментами инерции:
т
умножив нх на плотность, т. е. на -р , получаем моменты инерции массы тела.
Момент инерции Iq около произвольной точки О связан с моментом инерции Iq около центра инерции системы формулой
lQ = Ic-\-md*, (3-311)
где d = ОС. Момент инерции Iql около оси OL связан с моментом инерции Iqli около оси CL',проведенной через центр инерции С системы параллельно оси OL, формулой
1OL = 1CV + nd*, (3-312)
где d есть расстояние между осями OL н CL'. Момент инерции 1^щ
96 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
^ /4U)
dz
I /3W <
1>нс. 3-66. гА
а момент ииерцнн около перпендикулярных к оси вращения осей X иу-формуламн:
*В
S'2
*i z*dz
1XX - 'уу - \ 'zz + т -?—-- • <ы|»
dz
2A
Этот момент инерции около осей, перпендикулярных к оси вращения, и ног л- называется экваториальным моментом инерции.
§ 3-78. Эллипсоид и тензор моментов инерции
Момечт ине)и,ии около оси L (рис. 3-67), проходящей через начало координат її составляющей с осями координат углы а, ?, 7, определяется формулой
І? = Ix v cos2 а + Iy , cos'J!: 4-1cos2 7 —
— 21 cos , cos 7 — 2/ cos 7 cos a — 2/ cos a cos ?, (3-316) У *- zx ху
где коэ-^Л '¦¦1'I чты Ivz, /^1 І^у определяются формулами:
Г,, Vm г г , / = V /л .- .v , / = V m л- у (3-317)
относительно плоскости (H) связан с моментом инерции [(TIq) относительно плоскости (Hq, проведенной через центр инерции С системы параллельно плоскости (II), формулой
'(П) = ^ПС) + ж*. (3-313>
расстояние между плоскостями (П) и (П^). Наибольшую роль играют моменты инерции около осей. В случае однородного тела вращения, образованного вращением дуги AB вокруг оси (рис. 3-66), уравнение которой имеет вид р=/(г), момент инерции / около
оси вращения гг выражается формулой *В
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
97
Они имеют ту же размерность, как моменты инерции, но могут быть положительными или отрицательными, и называются произведениями инерции, или центробежными моментами инерции, относительно данных осей хуг. Если на оси L отложить в некотором масштабе отрезок OP — —^z=, то координаты (х, у, :) точки Я удовлетворяют
OL
уравнению
1XX*3 +1у у* + Гггг* - 21 у J>* - 2'гхгх ~ 21ху*У = (3"318» Это уравнение определяет эллипсоид с центром в точке О, называемый эллипсоидом инерции тела в данной точке О. Так как момент инерции Ji около оси L можно вычислить непосредственно по формуле
7I = H^pI,
без осей хуг, то эллипсоид инерции является геометрическим образом некоторой физической величины, характеризующей распределение масс точек тела относительно данной точки О. Эта величина называется тензором моментов инерции (тензором инерции) тела в точке. Аналитически тензор в данных прямоугольных осях хуг характеризуется коэффициентами уравнения эллипсоида инерции, которые располагают в таблицу и называют компонентами тензора моментов инерции по данным осям хуг:
