Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
(3-3 И
Если за оси хуг принять оси симметрии эллипсоида инерции, то его уравнение примет вид: Рис. 3-67.
Ах* + By* + Czu = I, (3-320) где коэффициенты А, В, С будут обозначать моменты инерции относительно осей симметрии эллипсоида инерции; эти оси симметрии называются главными осями инерции тела в данной точке О, а соответствующие моменты инерции — главными моментами инерции в той же точке. В главных осях таблица компонентов тензора моментов инерции принимает внд:
А 0 0 В 0 0
I
— I
XX
ху
— I
I
ух
УУ
— Г
— Г
гх
с)
(3-321)
так что произведения инерции в этих осях равны нулям.
Обратно, если два произведения инерции равны нулю, то та ось, координаты по которой входят в эти произведения, является главной для начала координат. Например, при Iхг = / = 0 главной будет ось г. При переносе начала по оси г с сохранением направления осей произведения инерции меняются по формулам:
1хг = 1X1Z1 + mh*C- ryz = 'y'z' + mhyc, (3-322)
где h — ОО1, a xq, yQ обозначают координаты центра тяжести тела. Отсюда следует, что для того, чтобы на оси нашлась точка О*, в кото-
4 Физико-технический справочник, том II
SS
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
рий эта ось будет главной осью инерцнн, должны выполняться условия:
(3-323)
Вообще же на данной оси такой точки, в которой эта ось главная, не существует.
Если ось является главной для двух своих точек, то она проходит через центр тяжести тела и будет главной во всех своих точках. Обратно, ось, главная в центре "тяжести, будет главной во всех своих точках. Главные оси, проходящие через центр тяжести тела, называются главными центральными осями инерции.
Так как, вообще, эллипсоид инерции имеет три взанмно-перпенднку-лярные оси симметрии, то н главных осей инерцин в данной точке, вообще, три н они взаимно-перпенднкулярны. Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то одной из главных осей будет ось вращения этого эллипсоида н все оси, к ней перпендикулярные в центре эллипсоида, будут тоже главными; моменты инерции около всех этих осей будут равны между собой. Если тело имеет ось симметрии, то она будет главной во всех свонх точках. Если тело представляет собой бесконечно тонкую пластинку, то в любой его точке одна из главных осей инерции будет перпендикулярна к его плоскости.
Таблица главных центральных моментов инерцин
1) Прямолинейный стержень
1-ї
¦1
г
= 0,2866 /, /„ = 0.
2) Круговое кольцо г
/,_ - т/Л ft. == /
тг*
2
ft, = 0,7071г.
3) Кругоьии с асл
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
У /г
t
і
С
/
/г
ч
I =mJt k
1Xx 12 ' "х
~6~ ' УУ 12
5) Поверхность сферы
6) Поверхность круглого цшиндра г
7) Объем сферы
8) Объем круглого цилиндра г
4
I22 = тг*. kz = r.
'„ = Г21'2 + 6'2'-
kx = 0,2886 VP + 61*.
2ГЛ/-3
= 0,6325 г.
^тг* 'zz 2 "
кг = 0,7071 г,
kx = 0,2886 У7» + &5.
4*
4) Прямоугольник
100 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
kz = 0,7071 Yr* + г2,
kx = с/2886 Y /з -f- з (#2 4- Г2).
10) Прямоугольный параллелепипед
A-
2
/
J-9
7
kx = 0,2886 У ?2 -f с2,
^ = 0,2836/с* -fa2,
k = 0,2886 т/а2 -f г>2.
11) Пирамида с прямоугольным основанием
1ZZ = K^-
kz = 0,2236 У а2 +
=0,2236 m /3
Yih2+b2-
^ =0,2236]/" І-А2 +а2.
12) Прямой круглый конус
7^ = To™'*' = 0,5477 г
у*х 20 V 4/ ^ = 0,3873]//* + ^.
9) Цилиндрический слой
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
101
13) Трехосный эллипсоид 2
14) Параболоид вращения z
15) Тор
I22 = J (а*+ Ы), kz = 0,4472 Ya* -f- b*,
1XX = JV2 + ^' kx =0,4472/ b* + с2.
^ =0,4472 /с2^_а2.
=0,7071 /Зг* + лз.
kz =
1XX =
/^ = 0,7071//^4- 1,25/-3.
0,5 У4^2 4_ 3/-а, /#2 5r2N
§ 3-79. Кинетический момент тела
Если тело вращается вокруг мгновенной оси OK (рис. 3-68) с угловой скоростью (а, то кинетический момент выражается формулой
Lo = 2 <r« X^V = S ra Xma«oXг.)-
a a
= u) X У mn (г . г ) - V г m (со, г ). (3-324)
•—a a a « ос a et
Отсюда проекции Lx, L , L^ на любые оси хуг выражаются формулами:
L=I Oi — / Oi - / (Ji \
X XX X ху у XZ Zt І
L — — I (м -\- I (а — I to к
у Vz X ~ vy у yz Zt >
L = - I oi ¦
Z ZX X
vy у yz
I Oi -г- I Oi I
zу у ^ ZZ z* J
(3-325)
102
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Эти проекции получаются умножением столбцов таблицы компонентов тензора инерции (3-319) соответственно на проекции а>х, со со^ вектора угловой скорости и построчным суммированием произведений. Если, в частности, за ось Oz принять ось вращения, то проекции кинетического момента выразятся через алгебраическую величину со угловой скорости формулами:
Z. =-/ со.
L = —/ со. У У2 '
= I „со.
(3-326)
Если за оси хуг взять главные оси инерции в точке О, то формулы (3-325) примут вид:
Рис. 3-68,
= Cu>
(3-327)
где А, В, С — главные моменты инерции. В общем случае, разлагая движение тела на переносное поступательное со скоростью Vc центра С инерции и на относительное вращательное вокруг мгновенной оси CK согласно формуле (3-247), получаем формулу: