Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
Если по отношению к инерциальной системе 5 система отсчета S' совершает заданное переносное движение, а материальная точка движется по кривой С, связанной с системой отсчета S', и при этом возникает динамическая реакция N, нормальная к кривой С, то относительное движение точки при действии на нее заданной силы F определяется уравнением
т
dt*
"f" ^ пер T'
(3-206)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
77
где s' означает дугу кривой С, a F^ и Фпер t — проекции на касательно к кривой С заданной силы и переносной фиктивной корис-лисовой силы.
Положение относительного равновесия получается из уравнения
^т+Фперт = 0. (3-207)
если оно не содержит явно времени г. Если переносное движение состоит в равномерном вращении с угловой скоростью ш вокруг верти-кальнойосиу, заданная во вращающейся плоскости ху кривая имеет урав-неше у = / (л) и заданная сила — вес точки, то уравнение отиоси-
тельного равновесия имеет вид а>-х = gf (Jf). При / (Jf) = ~~2g~ точка находится в относительном равновесии всюду на заданной кривой.
§ 3-63. Движение точки по заданной гладкой поверхности
Если материальная точка при помощи каких-нибудь тел удерживается на математически задавнон относительно инерциальной системы отсчета поверхности (П), но по этой поверхности может перемещаться, то сила N, измеряющая действие на движущуюся точку тел, удерживающих ее на заданной поверхности, называется динамической реакцией поверхности. Если к точке приложена заданная сила F, то основное равенство динамики для точки, движущейся по заданной поверхности, имеет вид: mw = F 4- N. Если известно, что реакция N нормальна к заданной поверхности (П), то эта поверхность называется динамически гладкой. Если уравнение поверхности /(Jf, у, г) =0 и направляющие косинусы нормали определяются формулами:
д1 дх
COS т =
0L
дг
(3-208)
то дифференциальные уравнения движения точки по поверхности имеют вид:
! = FX + N cos а, т -~ = F + JV cos г
(3-209)
где N обозначает алгебраическую величину проекции реакции на направление нормали, определяемое формулами (3-208). Эти уравнения вместе с уравнением поверхности определяют четыре неизвестные
78
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
функции х, у, г, N времени t. Если найдены траектория и скорость точки, то величина Л' определяется формулой
p т л
где р — радиус кривизны траектории, ср — угол главной нормали с нормалью к поверхности и Fn — проекция заданной силы на нормаль і поверхности, определяемую формулой (3-208). Сила Q = — N называется давлением точки на заданную поверхность. Эта сила направлені по нормали к поверхности и имеет проекцию на нормаль:
Q = Fn-^COs9. (3-211)
Если заданная поверхность представляет собой поверхность некоторого твердого тела, то в тот момент, когда Q = O, точка покинет эту поверхность.
Если заданной силы нет, т. е. точка движется по поверхности под действием только реакции N, то говорят, что точка движется по поверхности но инерции. В этом случае, проектируя основное равенство
dv
mw = N на касательную к траектории, получим — = 0, т. е. v •-== const,
и точка движется равномерно. В этом случае w = wv, а потому главная нормаль к траектории совпадает с нормалью к поверхности и траектория является геодезической линией заданной поверхности. В случае сферы таковой будет дуга большого круга.
§ 3-64. Сферический маятник
Точка, движущаяся по поверхности гладкой сферы под действием силы веса, называется сферическим маятником. Движение сферического маятника длины /, равной радиусу заданной сферы, определяется Q X (рис. 3-65) в цилиндрических коорди-
натах z, б, <р, причем положительное направление оси z выбирается вер-а тикально вниз. В этом случае уравнения движения сферического маятника имеют вид:
d? . 90 /dB\2
-?sm2B = a, {
dt) +
+(ЗУ
Sin2 0
I
cos 0 = 2A.
Рис. 3-65.
(3-212)
где а и h — постоянные, определяемые по начальным данным б0, / dB \ (d<?\
F (z) = 2 (/2 _ *2) (Пр 4- gZ) - аЧ*. (3-213)
Уравнение F {г) =0 имеет три действительных корня а, ?, у, лежащих в интервалах: — со < 7 <; — I, О < ? <с z0, Zq •< а <; /, где Zq — начальное значение z. При этом в интервале ? ^ z ^ а величина F (z) > 0, а потому движение точки происходит в зоне сферы между параллельными
кругами O1 = arecos ~ и O2 = arccos -- , называемыми предельными.
ОБIUAЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
79
Если а = ?, то предельные круги сливаются и движение точки происходит равномерно по окружности в горизонтальной плоскости, и сама точка называется коническим маятником. Осуществить конический маятник можнопри помощи тяжелого шарика, подвешенного на нити, если нить отклонить от вертикали на угол 80 и сообщить шарику скорость Vo. перпендикулярную к плоскости, проведенной через вертикаль и нить, и
равную по величине V0 = sin o0
У cos 9 п
Глава 3-7 ОБЩАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ § 3-65. Механическая система и ее внутренние силы
Совокупность материальных частиц, составляющих одно или несколько тел, или мысленно выделенных, и взаимодействующих друг с другом по закону равенства действия и противодействия, называется механической системой. Закон равенства действия и противодействия состоит в том, что силы, измеряющие взаимодействие двух частиц механической системы, направлены по одной прямой в противоположные стороны и равны по величине. Если силу воздействия на частицу Ла системы со стороны частицы Лр той же системы обозначить Fa?, а силу воздействия на частицу со стороны частицы Аа — через Fcа, то Fa?-}-Fpa = 0. Отсюда следует, что сумма векторов всех внутренних сил системы, т. е. сил, с которыми ее точки взаимодействуют друг с другом, всегда равна нулю:
