Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
2 Fa? a0* (3-214)
Точно так же, построив векторы моментов Mq (Fa?) внутренних сил около любого общего центра О, получим, что геометрическая сумма этих векторов моментов равна нулю:
S М0(ра?> = °- (3-215)
«. ?
§ 3-66. Центр инерции
Сумма масс материальных частиц механической системы называется массой системы:
S^m11 = т. (3_216)
а
Через вес P системы, равный сумме весов частиц, составляющих эту систему,
P=VP1 <3-2|7>
80
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
масса системы выражается формулой
т = -J . (3-218)
Физический смысл массы тела состоит в том, что она при поступательном движении тела представляет меру его инерции. Сумма їропз-ведрний радиусов-векторов частиц системы относительно обще:о начала О на массы этих частиц называется вектором статического момента системы относительно данного центра Oi
(1-219)
Точка С, определяемая по отношению к какому-нибудь началу О рациу-сом-всктором г*с, равным отношению статического момента сист*мы относительно того же центра к массе системы, так что
ГС =-т-' (3-2Ю)
называется центром инерции системы, или центром масс точек. Положение ценіра инерции вполне определяется конфигурацией, составленной частицами системы, не зависит от выбора центра О. По отношению к осям xyz центр HrtepjHH определяется через координаты *а> Ух г„ точек системы формулами:
хс = ^—-, ус=^—-, гс=^_-. (3-221)
, т г 1 а а
В случае твердого тела его центр инерции совпадает с центром тяжести, а потому и для любой системы ее центр инерции называется условно ее центром тяжести.
При движении системы относительно системы отсчета S, на которой взят центр О, раднус-вектор является переменным, и его конец описывает кривую, называемую годографом радиуса-вектора. Геоме-
трически производная ^ выражается формулой
dt
drr Г а dt -ЗГ--«-•
Эта производная называется вектором скорости центра инерции и может рассматриваться как скорость воображаемой точки, движущейся по годографу вектора. Эту скорость через скорости Va точек системы можно представить формулой
ОБЩАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
81
Производная —называется вектором ускорения центра инерции С; ее можно рассматривать как вектор ускорения воображаемой точки, движущейся по годографу вектора Tq со скоростью Vf;, и выражать формулой
Vm w
а а
где Wa обозначают ускорения точек системы,
§ 3-67. Теорема о движении центра инерции
Основное равенство динамики для точек A^ системы принимает вид:
т^чі^ = + ? Fa?, где P^' обозначает внешнюю силу, приложеи-
3
ную к этой точке. Суммируя эти равенства по всом точкам систгмы и принимая во внимание формулы (3-224) и (3-214), получим ракше г во
mwc = Sp«e>- ^-21Ъ)
а.
называемое уравнением движения центра инерции системы. Оно показывает, что центр инерции системы кинематически движется так же, как двигалась бы динамически воображаемая изолированная материальная точка, масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, имеющая вектор, равный сумме векторов всех внешних сил, приложенных к точкам системы. Следовательно, внутренние силы никакого влияния на движение центра инерции системы не оказывают. В частности, при отсутствии внешних сил или в случае, когда
P^ = 0, имеет место = 0, т. е. центр инерции системы движется
а
относительно инерциальной системы S отсчета прямолинейно и равномерно, а потому, приняв его за начало поступательно движущейся относительной системы S' отсчета, получим новую инерциальную систему отсчета. Такой случай имеет место с большой точностью для солнечной системы, если осн подвижной системы S' направить к трем звеадам.
§ 3-68. Количество движения
Количеством движения материальной частицы массы т, движущейся со скоростью V, называется вектор q, равный произведению массы частицы на вектор скорости:
q = mV. (3-226)
Модуль вектора количества движения измеряется единицей:
IqI = кгс . сек. (3-227)
Его проекции на ось системы отсчета выражаются формулами:
dx dy dz g Il00.
q* = m4t- b = 'nw «*-mw (3"228)
82
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
С вектором P равнодействующей сил, приложенных к движущейся точке, вектор q количества движения связан уравнением
dt
= Р.
(3-229)
Если вектор P рассматривается как переменный, зависящий от времени, P = P (t), то для вычисления изменения количества движения в течение промежутка времени (tA, t?) этот промежуток разбивают иа бесконечно малые части Д/^, вставляя между моментами tA и t? промежуточные моменты tA = tt < ta < tt < . .. < tn < tn j = tB, и находят п
предел суммы: lim >J P (t.) Д/.. Этот предел называется геометри-
пескам интегралом от вектора P (С), или импульсом силы P1 за промежуток времени (tA, t?) и обозначается символом
P (t) dt -
lim у р tt л д/ A = I
(3-230)
Подынтегральный вектор P (t) dt называется элементарным импульсом значения силы P в данный момент t. Импульс силы за данный промежуток времени представляет собой свободный вектор, модуль которого выражается, как и модуль количества движения, в кгс • сек. Элементарный импульс имеет направление, коллинеарное с направлением силы P в данный момент г. Формула изменения количества движения точки имеет вид:
