Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
ральной оси, параллельной оси вращения, то I = -\- а, т. е. I > а.
Точка 0\ лежащая на радиусе вращения центра тяжести на расстоянии / от оси вращения, называется центром качания, а прямая 0'г\ проходящая через центр качания параллельно оси вращения, — осью качания. Расстояние а' = 0'С от оси качания до центра тяжести опре-ІОС
деляется по формуле аа' =-, из которой следует, что если ось катя
чания сделать осью вращения, то новой осью качания окажется старая ось вращения. Если маятник симметричен относительно плоскости ху, в которой движется центр тяжести С, то реакции закрепленных точек оси приводятся к одной равнодействующей R, приложенной в точке О и имеющей проекции:
Rx = — ш2тх? — г ту Q — mg; R^ ~ — ш^ту^ zmxQf
где xq, yQ — координаты центра тяжести, а со и є — угловая скорость и угловое ускорение маятника.
X
Рис. 3-70.
§ 3-83. Крутильные колебания
Тело, подвешенное к неподвижной точке на проволоке, прикрепленной к нему в центре тяжести, после закручивания проволоки совершает вращение вокруг неподвижной вертикальной оси под действием упругих сил проволоки. Момент этих сил при закручивании проволоки на угол «р равняется —сер, где с — коэффициент, зависящий от материала проволоки. Уравнение вращения получает вид:
106 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
21 = 2«]/^. (3-341)
Крутильными колебаниями можно воспользоваться для определения опытным путем момента инерции вокруг оси, около которой происходят эти колебания. Для этого находят период крутильных колебаний 2т0 на той же проволоке эталонного тела с известным моментом инерции I0, так что 2т0 =с 2те |/"~ • Исключая из этой формулы и из формулы (3-341) коэффициент с, получаем:
/=/0-?-. (3-342)
о
§ 3-84. Плоское движение тела
Если тело движется параллельно плоскости ху, то его положение определяется координатами xq, yQ проекции центра тяжести на эту плоскость и углом 9 поворота вокруг оси Cz', проходящей через центр тяжести перпендикулярно к плоскости ху. Уравнение (3-225) движения центра инерции в проекциях на оси Ox и Oy дает уравнения:
foC_VpH md9yC _у о(е)
ay (3-343)
где т обозначает массу тела, a — приложенные к нему внешние
силы. Уравнение (3-252) для кинетического момента в движении относительно оси Cz' получает вид:
/С«'^-23ЛС«»<Р?)). (3-344)
Если первые части содержат только заданные силы F , то уравнения (3-343) и (3-344) получают форму:
d-XQ / dXQ dyQ rfcp>
/ dxc dyc d?\
db'c x (A dxC аУС d?\
т'Ж"'/ЛІІХс§УС-г''аГ- ~~dT* dth
d2<? / dXQ dyc df\
(3-345)
где правые части являются известными функциями своих аргументов,
где /—момент инерции вокруг центральной оси, направленной по проволоке.
Так как уравнение (3-340) имеет вид уравнения (3-176) гармонических колебаний при значении ft2 = — , то полученное вращение тела называется крутильным колебанием. Его период составляет
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 107
т. е. в случае существования равнодействующей для системы внешних сил сумма их элементарных работ равна элементарной работе равнодействующей. Если система внешних сил P^ эквивалентна одной
паре,(P^,..., р№) с/э (Р, — Р), то формула (3-346) дает:
2 dA ( P^) = dA (Р, - P) = (со, M (Р, - P)) dt. (3-349)
Так как (со, M (Р, — P)) dt== Мш (Р, — P) df, где d<p = a>dt обозначает бесконечно малый угол поворота тела вокруг оси вектора со за
и тогда уравнения (3-345) при заданных начальных значениях
(0) (0) (0)- Sdxc\ fdyc\ /d<?\ * с . ус> <? >¦ {—)о, (—J0, вполне определяют кине-
матику движения тела. Но, вообще, в правые части уравнений (3-343) и (3-344) входят неизвестные внешние реакции, и тогда для решения задачи необходимы дополнительные условия, которые характеризуют связи, обусловливающие плоское движение тела.
§ 3-85. Сумма элементарных работ сил. приложенных к точкам твердого тела
Если движение тела характеризуется скоростью Vq полюса о, произвольно выбранного в теле, и угловой скоростью со, то сумма элементарных работ сил Ра, приложенных к точкам тела, выражается формулой
2 dA (Ра) = (v0, ? О dt + (со, S M (Ра) ) dt. (3-346) Если P обозначены внутренние силы, т. е. P = У] F л, то согласно
Ct Л —ш¦ сей
P р
формулам (3-214) и (3-215):
SPa=SFa3=°' S M0 (Ра)= 2 M0 (F )=0, а а, ? Р а а, ? р
а потому
2 dA(Fa?)=0. (3-347)
а. ?
т. е. сумма элементарных работ всех внутренних сил твердого тела всегда равна нулю. Если P^ — внешние силы, имеющие равнодействующую P0, приложенную в точке о, то формула (3-346) дает:
2 dA (P^)) = (V0, P0) dt = dA (P0), (3-348)
108 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
бесконечно малый элемент dt времени, то формула для работы пары получает вид:
dA (Р, - P) = Mw (Р, - P) d9. (3-350)
Если система внешних сил P^ уравновешена, то формула (3-346)
дает: ^ dА ( PJe^ => 0, т. е. сумма элементарных работ сил уравно-а
вешенной на данном теле системы внешних сил равна нулю. При вращении тела около закрепленной оси 00' формула (3-346) дает:
