Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
понятия. Топология в реальных примерах более сложна (например, может
иметь место случай большого числа различных неподвижных точек), однако
эти сложности можно преодолеть, если понять основные идеи, изложенные в
этой главе.
Неподвижные точки впервые были рассмотрены в оригинальной работе Гелл-
Манна и Лоу [13] (см. также работу [76]). Необходимость в полном
топологическом исследовании возникла только тогда, когда преобразование,
соответствующее ренормализационной группе, было использовано для случая
не одной постоянной связи, а большого их числа. Полный топологический
анализ был впервые проделан для упрощенной модели с фиксированным
источником [18]; многие вдохновляющие соображения, положенные в основу
этой главы, были почерпнуты именно в работе [18]. В работе Вегнера [63]
дано пространное обсуждение решений уравнения ренормализа-ционной группы
вблизи критической точки, это обсуждение
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
перекрывает и значительно расширяет последнюю часть настоящей главы.
1. Пространства и подпространства
Преобразование, соответствующее ренормализационной группе, - это
преобразование U на пространстве 5 взаимодействий с обрезанием. В
предыдущей главе был дан пример инфинитезимального преобразования U.
Уравнение ренорма-лизационной группы имеет вид
= ?/[#,]. (12.1)
Взаимодействия 36t берутся из пространства 5.
Взаимодействия из пространства 5 даны в безразмерной форме с импульсами,
выраженными в единицах параметра обрезания. Мы всегда можем выбрать любое
взаимодействие 36 е S и изменить параметр обрезания путем изменения
единиц измерения. Параметр обрезания может представлять собой верхнюю
границу для всех импульсов q, определяемую либо непосредственно, либо с
помощью введения решетки (см. гл. 3 и 10). Обрезание необходимо потому,
что по определению преобразование U, соответствующее ренормализационной
группе, заключается в интегрировании по импульсам, которые должны быть
чуть меньше параметра обрезания; следовательно, преобразование U будет
бессмысленной операцией, если параметр обрезания бесконечен. В случае
точных уравнений ренормализационной группы, которые приведены в гл. 11,
определенная верхняя граница для q не является необходимой, однако, если
негауссовы члены в гамильтониане 36<з не имеют обрезания для импульсов q^
1, проинтегрировать эти уравнения трудно. В методе ренормализационной
группы теория поля без обрезания должна получаться как предел теорий с
обрезанием. (Это не зависит от того, проводятся ли вычисления в рамках
теории возмущений или нет.)
Координатами в пространстве 5 являются свободные параметры произвольного
взаимодействия 36 е S. В случае простых примеров, рассмотренных в
предыдущих главах, координатами в пространстве 5 были параметры г и и.
При обсуждении точных уравнений ренормализационной группы произвольное
взаимодействие 36 определяется с помощью некоторого бесконечного
множества произвольных функций "г(^),
177
ГЛАВА 12
ui(4, Чи Ч2, Чг) и т. д. Это означает, что в последнем случае
пространство 5 является бесконечномерным.
Решение Жх дифференциальных уравнений ренормализационной группы как
функция t определяет множество взаимодействий, причем все они описывают
одну и ту же физическую систему. Однако при установлении связи между
решением Жх и реальными физическими свойствами необходимо сделать
зависящее от t изменение масштаба. Можно с самого начала при исследовании
физических свойств взаимодействия Жъ изменить масштаб, так что физическая
система будет иметь в импульсном пространстве параметр обрезания Ло ф 1.
Это изменение масштаба не приведет к каким-либо ограничениям: Ло можно
выбрать как угодно. Для заданного Л0 изменение масштаба, необходимое для
установления связи между решением Жх и реальными физическими свойствами,
фиксированно, а именно импульс обрезания в Жи выраженный в физических
единицах, должен быть равен е~гА0 (см., например, гл. 7).
Пусть физическая система имеет корреляционную длину gp, выраженную в
физических единицах (скажем, в см или МэВ-1). Это не должно зависеть от
того, какое взаимодействие Жх (т. е. при каком значении величины t)
используется для описания физических свойств. Пусть g* - корреляционная
длина, соответствующая взаимодействию Жи в безразмерных единицах. Тогда
масштабные преобразования, определенные выше, дают
1х = е~%А0. (12.2)
Это, в частности, означает, что для решения Жх уравнения
(12.1) корреляционная длина gt удовлетворяет соотношению
Ъ = е~Ч о- (12.3)
После изменения масштаба, в результате которого происходит переход к
физическим единицам, взаимодействие Жх имеет параметр обрезания е~*Ао, т.
е. необычайно малый по сравнению с настоящим параметром обрезания Ло,
соответствующим физической системе. Это свойство определяется
построением: большие импульсы во взаимодействии Жо устраняются с помощью
интегрирования. Необычайно малое значение параметра обрезания означает,
что взаимодействия в гамильтониане Жх имеют необыкновенно большой радиус
