Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
нент a _q должна быть заменена на величину ^,to'_q, с q' - qel. Другими
словами, необходимо записать
J j (Ч) о-g = e~d%t J j (q'e-*) a'_q, = J j {q', t) a'_q" (11.29) я я'
я'
где
}(q', О = e~d%j (q'e-*). (11.30)
Предположим, что параметр ?* определен следующим образом:
& = edmep(t)_ (П.31)
Тогда выражение (11.28) (опуская штрихи) превращается в следующее:
Z (/) = J ехр ( J j (q, t) a-q exp [q2 - q2e~2t] -
a L q
- \\i(q> *)i(- я- 0texP(V - 292e-2o - e-2"(r)] + a"*[a] 1.
я )
(11.32)
Выражение (11.32) для вычисления Z(j) более сложное, чем ожидалось из
общих принципов. Однако это не влияет на общий анализ свойств
ренормализационной группы: для больших t и q порядка 1 членами е~24 и е-
ЭДЧ можно пренебречь (отбрасывание члена е-2Р(Ч означает, что [(^)->оо,
если t-*00, а это действительно справедливо для всех примеров, которые
рассмотрены до настоящего времени). Тогда Z(j) зависит от t только через
функцию j(q, t) и гамильтониан Ш%. Это решающий факт, необходимый для
общего рассмотрения следствий из ренормализационной группы.
Замечательным является то, что для d2/Stldt [см. уравнение (11.17)] можно
написать точное и совершенно явное уравнение. Ранее все формулировки
ренормализационной группы существенным образом включали в себя теорию
возмущений (например, формулировка Гелл-Манна и Лоу и диаграммная
формулировка, которая дана в гл. 4 и 5). или же включали невычисляемые
функции (подход Каданова) . Работать с уравнением (11.17) неприятно,
однако нам представляется, что именно это или похожие уравнения явятся,
вероятно, основой для большинства работ по ренормализационной группе.
173
ГЛАВА И
Для использования в дальнейшем запишем выражение для производящего
функционала Z (/) при больших t в виде
Z (/) = J ехр И / ((q, t) a-q ехр (q2) -
а I д
- у 5 / (Я, t)/ (- </> О ехр (2?2) + [а] |. (11.33)
ч )
Именно формула (11.33) применяется для исследования гамильтониана 3$t[o]
вблизи неподвижной точки Ж* или для исследования ренормированной
траектории, выходящей из точки Ж*.
Заметим, что корреляционные функции, с которыми приходится работать,
всегда включают в себя знаменатель Z-1, следовательно, производящий
функционал, представляющий практический интерес, имеет вид Z(/)/Z(0). Это
очень удачно, потому что при выводе дифференциального уравнения (11.17) в
гамильтониане Жг был отброшен член, равный постоянной.
Для производящего функционала Z (/) [а более точно для Z(/)/Z(О)]
существует другая полезная формула. Выглядит она следующим образом.
Определим некоторую специальную функцию сг' (q)'-
v't (Я) - / (яе~*) ехр { (0 - > (11.34)
где
Р, (0 = Я2 (1 - e~2i) + Р (0 = о? ехр (-0 (t). (11.35)
Тогда
Z = Д.(tm) 6Хр { ^ + Т S а* ^ ст; (" ^ ['1 + ехР {~ 2Р? (0}] J ¦
(11.36)
Справедливость этой формулы доказывается следующим образом. Запишем
вначале выражение (11.7) через сг' (q), затем перейдем к пределу t -*•
оо, а для того чтобы получить производящий функционал Z (/), используем
определение (11.26). Для начала свяжем переменную сг", которая не
подвергалась масштабному преобразованию, с переменной сг', масштаб
которой изменен,
a' {q) = ехр a' (qe*) = j (q) ехр {aq (t)}. (11.37)
174
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Подстановка a" (q) вместо о" в выражение (11.7) дает
_ г"/-п Г 1 Г / (ff) / (-V) ехР {2"? (0) ч .
ехр {Ж, [а,]} = с ехр | - т ) - t _ ехр {_ ^ (f)) J X
X [ схо ( [ '(q) a~4 1 [ У*-? exp Ь 2% I
X J exp J ^ 1 - exp {- 2aq (/)} 2 ) 1 - exp {- 2aq (/)} + ^
}*
a Kq q )
(11.38)
В пределе t-><x> выражение (11.38) можно переписать следующим образом:
Нт ехР 1К] + \ \ a't № a't Ч) С1 + ехР {- 2Р, (0}] | =
= с ^ ехр {) j(q)e-q + mо [о-] |. (11.39)
Тогда, используя определение (11.26), в выражении (11.39) можно без труда
узнать производящий функционал Z(j). Преимущество определения (11.36)
состоит в том, что оно позволяет избежать явного вычисления
функциональных интегралов; необходимо только решить функционально-
дифференциальное уравнение для
Глава 12
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
§ 1. ТОПОЛОГИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ группы (НЕПОДВИЖНЫЕ
точки, траектории И ПОДПРОСТРАНСТВА)
В основе детальных вычислений и анализа, использующего метод
ренормализационной группы, изложенный в предыдущих главах, лежат
некоторые простые топологические идеи. Как уже отмечалось, таковыми
являются, например, идеи о неподвижных точках. В настоящей главе эти
топологические идеи будут обсуждаться подробно. Их мы рассмотрим в
простой, но достаточно абстрактной форме, не обращаясь к конкретному виду
преобразований, соответствующих ренормализационной группе. По отношению к
эффективным взаимодействиям, связанным с ренормализационной группой,
будет сделано несколько общих предположений. Эти предположения
справедливы для всех тех решений (точных или приближенных), которые
получены до настоящего времени, однако их справедливость не доказана в
общем виде. Для иллюстрации будут рассмотрены простые топологические
