Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вильсон К. -> "Ренормализованная группа и epsilon-разложение" -> 64

Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.

Вильсон К. , Когут Дж. Ренормализованная группа и epsilon-разложение — Стройиздат, 1975. — 270 c.
Скачать (прямая ссылка): renormalizovannayagruppa1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 90 >> Следующая

мы решаем уравнения ренормализационной группы и хотим получить Ж% из Жй,
тогда пространство 5(0 - это пространство, включающее все взаимодействия
Ж%, которые порождаются всеми возможными начальными взаимодействиями Жхз,
содержащимися в пространстве 5.
По предположению эффективное взаимодействие Жх принадлежит пространству
S, следовательно, S(0 является подпространством пространства 5.
Подпространства 5 (t) вкладываются друг в друга, т. е. 5 (t -f-f) с: 5
(t) для любых положительных значений t и f. Основания для этого простые:
подпространство 5(/-J-f) получается в результате интегрирования
преобразования U по промежутку времени t + f, начиная от точек,
принадлежащих пространству 5. Это эквивалентно интегрированию
преобразования V по промежутку времени t, начиная от точек, принадлежащих
подпространству S(t'). Поскольку 5(f) содержится в пространстве 5, то мы
получим большее пространство, если начнем от точек, принадлежащих 5, а не
5(f); следовательно, 5 (t + f) с: 5 (t).
Пространства S(t), соответствующие конечным значениям времени t, имеют ту
же размерность, что и само пространство 5. Однако пространство 5(оо)
(которое получается как предел S(t) при t-> оо) может быть пространством
с меньшей размерностью. Основная идея метода ренормализационной группы
состоит в предположении, что пространству S(oo) соответствует
поверхность, размерность которой много меньше размерности пространства 5.
Поверхность 5(оо) на фиг. 12.2 изображена просто в виде кривой С.
Причина, по которой ожидается, что пространство 5(оо) будет
характеризоваться размерностью гораздо меньшей, чем пространство 5,
заключается в следующем: взаимодействие Жх (для больших зна-
182
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
чений величины t) описывает физическую систему, у которой радиус действия
сил гораздо меньше (как показано выше), чем радиус действия сил в
исходном взаимодействии Ж0. Маловероятно, чтобы произвольное
взаимодействие Ж в пространстве S обладало этим свойством; следовательно,
S(t) для больших t должно являться лишь малым подмножеством в
пространстве S.
Такое дифференциальное уравнение, как (12.1), интегрируется как для
положительных, так и для отрицательных значений t. Предположим, что
взаимодействие Ж принадлежит пространству S и не принадлежит S(t). Тогда
взаимодействие Ж-t, которое появляется при интегрировании в направлении,
обратном по отношению к положительным значениям t, не может лежать в
пространстве 5. Если взаимодействие Ж-t не принадлежит пространству 5,
тогда есть соображения, что Ж-t, вероятно, является взаимодействием,
имеющим в безразмерной шкале большой радиус. Действительно, при
интегрировании вдоль произвольной траектории в обратном направлении
разумно было бы ожидать, что все взаимодействия Ж-t имеют одинаковые
радиусы, если их выразить в физических единицах. Если это так, то радиус
взаимодействия, выраженный в безразмерных единицах, должен возрастать для
взаимодействий Ж-t как ег. Следовательно, для больших значений t
взаимодействие Ж-t будет лежать, вообще говоря, вне пространства S.
2. Траектории и неподвижные точки
Уравнение ренормализационной группы (12.1) определяет в пространстве 5
траектории. На траектории выполняется соотношение
Следовательно, если исходному взаимодействию Ж0 соответствует конечная
величина корреляционной длины |0, тб траектория проходит через все
поверхности, соответствующие фиксированным значениям g', если g' < go-
Этот факт иллюстрируется кривой А на фиг. 12.3, а. Если исходному
взаимодействию Жо соответствует бесконечная величина корреляционной длины
go, то траектория целиком лежит на критической поверхности Sc (кривая В
на фиг. 12.3, а\.
183
ГЛАВА 12
Поскольку преобразование, соответствующее ренормализационной группе, не
зависит от переменной t, то траектории
Фиг. 12.3. а - две траектории А а В, соответствующие ренормализационной
группе.
Кривая А начинается на линии |=2 и пересекает линии с меньшими значениями
?. Кривая В начинается на критической поверхности (|s=oo) и остается на
ней. б - траектория А, сдвинутая так, что ?0 == 1-
(как уже было видно в гл. 7) можно сдвигать по переменной t. Единственный
эффект от сдвига
(12.5)
заключается в том, что сдвинутая траектория начинается g точке t0, а не в
точке t = 0. Свободу в выборе величины
184
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
сдвига по переменной t можно использовать для того, чтобы
конкретизировать условие нормировки на величину |0,' например |о = 1.
Тогда lt = е~К При таком условии нормировки поверхности, соответствующие
фиксированным величинам превращаются в поверхности, соответствующие
фиксированным величинам / для сдвинутых траекторий (фиг. 12.3,6).
Неподвижная точка отвечает взаимодействию Ж, которое удовлетворяет
условию U \Ж\ = 0. Неподвижная точка является тривиальным случаем
траектории: решение уравнения (12.1) для всех t удовлетворяет соотношению
affit - Ж. Корреляционная длина, соответствующая неподвижной точке,
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed