Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним некоторые факты относительно дифференциальных уравнений.
Рассмотрим, в частности, дифференциальное
а
Фиг. 11.2. а -резкая граница между импульсами, соответствующими
интегрируемым и неинте-грируемым спиновым компонентам; б - переходная
область между импульсами, соответствующими почти полностью интегрируемым
и незначительно интегрируемым спиновым компонентам.
уравнение вида
#-¦&(? + *)+ <"•"
Решение уравнения (11.1) можно записать с помощью функции Грина, т. е.
ф (хt) = ^ Q (х', t\ х, 0) ф0 М dx. (11.2)
165
у
/
Незначительно / Почти полностью интегрируемые j интегрируемые
/
/
/
/
L
ГЛАВА И
Поскольку уравнение (11.1) квадратично по х и д/дх, функция Грина
известна точно; она имеет вид
G(x', t; х, 0) = -== 1 ¦ ехр Г - хе~% 1. (11.3)
V V2n(l - ехр (-20) L 2 (l - е ) J V
Выражение (11.2) обеспечивает чрезвычайно простую реализацию понятия
неполного интегрирования. Когда t->-0, функция Грина переходит в дельта-
функцию Ь(х - х'), а функция ty(x', t) переходит в первоначальную
произвольную функцию фо (*'):
ф(х', 0)==фо(х/). (11.4)
Когда t становится очень большим, функция ф(х', t) переходит в известную
функцию Гаусса ехр(-lhx'2) с коэффициентом пропорциональности, равным
интегралу
+ 00
^ Фо (x)dx,
- оо
т. е. имеем
+ 00
ф(У, оо) = -~r ехр (- Y х'2) ^ фо (х) dx. (11.5)
Таким образом, функция ф(х', t), рассматриваемая как функция t, является
интерполяционной функцией между полностью непроинтегрированной функцией
фо(х') и ее полностью проинтегрированной формой. Следовательно, параметр
t определяет степень проинтегрированности по переменной х.
Рассмотрим теперь функциональный интеграл. Так как в этом случае каждая
компонента поля оч, связанная с импульсом, должна быть проинтегрирована,
для измерения степени ее проинтегрированности необходимо ввести функцию
vq{t). Ниже будет приведен частный случай выбора aq(t). В общем случае мы
хотим, чтобы функция aq{t) имела вид, показанный на фиг. 11.3. Пусть а'
означает спиновую переменную в гамильтониане Mt до изменения масштаба
импульса. Спиновая переменная после изменения масштаба бу-
166
"ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
дет обозначаться через а'. Функциональные аналоги уравне-
Ч
ния (11.1) и выражения (11.2) имеют вид
-±- ехр {Xt [а"}} = ^77 ехр {Ж, [а"]}, (11.6)
ехр {Жх [о"]} =
_ Г ( 1 Г (p"-aqexp {- a,(0})(g-tf-g-gехр (<}}))
С J exp | 2 } 1 - exp {- 2aq (*)} jX
Xexp {Ж0[а]}. (11.7)
Постоянная с не играет существенной роли, так как вычисляются только
отношения средних, включающих в себя
аг(*)
/
/
--------f - j
t-2
1- 1
Фиг. 11.3. Некоторый случай выбора функции aq{t), которая (как функция t)
является мерой того, насколько полно проинтегрирована каждая из
компонент о..
ехр(Жх). Функции a"_q и a_q появляются в правой части (11.7) потому, что
гамильтониан Жг[о\ сохраняет импульс. Непосредственно из (11.6) следует
функционально-дифференциальное уравнение для Жх{о"]\
d38t с
~dt J
аур
dt
я
+
б
Ьо'' 6а
7Г + О" ^; + Const j , (11.8)
где const - член, не зависящий от а"; его можно не принимать во внимание.
Теперь необходимо выбрать пригодную для наших целей функцию сxq(t). Эта
функция должна обладать некоторым определенным свойством: она должна
отделять малые q от
167
ГЛАВА 1)
больших q. Хорошим выбором, как оказывается, будет выбор функции в виде
^
M0 = W-l) + p(*), Р (0) = 0. (11.9)
Цель введения функции р(1)-наложить условия нормировки на кинетический
член в гамильтониане Жи например
Mt = -±-\q'Wq,o'_q,+ ••• (11Л°)
ч'
(мы выражаем этот член через функции а',, которые будут определены ниже).
Ясно, что функция р(/) служит той же цели, как и постоянная ? при
дискретном изменении масштаба, о котором шла речь в предыдущих главах
[см., например, (3.33)]. Если критическое поведение должно описываться
неподвижной точкой, то такое условие нормировки существенно. Налагая эго
условие нормировки на гамильтониан Жt для всех t, получаем в результате
уравнение для р(0-
Последний шаг в построении преобразования, соответствующего
ренормализационной группе, заключается в изменении масштаба импульсов, т.
е. гамильтониан Ж\ следует выразить через переменную q', которая
эффективно изменяется в области 0<|<7'|< 1. Из выражений (11.7) и (11.9)
ясно, что эффективное обрезание по q равно е~1, поэтому после изменения
масштаба импульс q' должен быть равен q' = qe*. Необходимо также ввести
спиновую переменную <т', с измененным масштабом. Она будет выражаться
формулой *)
о?, = ехр (- -^) о". (11.11)
Масштабный множитель определяется требованием: дифференциальное
преобразование, соответствующее ренормализационной группе, которое мы
должны вывести, не должно зависеть от t. [Из (11.8) легко видно, что
сделать произвольное изменение нормировки а" нельзя, ибо мы испортим это
уравнение.]
Функционально-дифференциальное уравнение (11.8) теперь следует переписать
с помощью переменных а',,заменяю-
J) В формуле (11.11) d - размерность пространства. -Прим. перев.
