Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
168
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
щих в". Производная по времени d^t/dt в уравнении (11.8) берется при
фиксированной функции а". Ее необходимо заменить на производную при
фиксированной функции а',. Связь между этими двумя производными по
времени имеет вид
dt
dt
+ S
а' q'
d*q'
dt
а" Я
Величину производной do'^jdt | можно определить из (11.11);
daq>
dt
=(-т ~ч'-чМ-
(11.13)
следовательно, (11.8) примет вид
dt
+
bxt ьжг
Т Т/ Г 7? "1""
бaq ba_q
- // . // б<yq бa_q
ЬЖ, Л
°Ы1
Однако из выражения (11.9) следует
да<г -¦ 2q2e2t + -^- = 2q'2 +
dt
dp
ИГ'
(11.14)
(11.15)
Наконец, формула (11.11) и свойства функциональных производных приводят к
соотношению
ЬЖ, (dt\ ЬЖ( ...
К=иЧт)^- (Ы6>
Подставив выражения (11.15) и (11.16) в (11.14), получим искомое
дифференциальное уравнение ренормализационной группы
[(±о' +<7'-V а' ^ + dt 4 WJ ба', +
+ \№+ 2Яп) (+ &ч' Г^) • (11Л7) T\dt J\boq, бo_q, baq,ba_q, Я бoq,J
Выражение (11.17) является функционально-дифференциальным уравнением. Его
можно свести к обычным уравнениям в частных производных, если разложить
гамильтониан
469
ГЛАВА 11
36t по степеням а; запишем гамильтониан, опуская штрихи при а и q:
3$t[6] = - ~ ^ и2 (<7> 0 -
--^г5 5 5"4(<7. <71. <72. <7з. t)o4aqpqia,3- ..., (11.18)
9 Ч\ Ф.
где qz - - q - qx - q2 в соответствии с законом сохранения импульса.
Постоянная, не зависящая от а, в (11.18) опущена. Соответствующие
уравнения для щ, ы4 и и6 имеют вид
= {-<7 .v9 + 2(4f+2<72)[l -u2(q, t) +
+ S +2<7i)u4(<7' ?i- 0;
диЛч...-.Чъ 0 = |_d_g,vq + ^ + 2^[1 _2Цг(9) 0]_
¦ * * Qi'^q, "1" (jit ^з) 2u2(<73, 7)] | ^(^7. • • • > Яд> 0 "Ь
+ \{lu +2q2i)ue(q' <72. <7з- <74* - <74* O'* (11-19)
За. (g, q5,Jl Ц.2,_,,У, + (^ + 2ф--2ц2 (y> 0] _
^5'^q, "b (rff "Ь ^<7б)[1 2u2(^5, 7)]} Ы6(^7, ^5, 0
" 2\м ^ (<7 + <7i + Яз?\ Щ (я, Яи Яь Яз + Я4 + <7s> 0 X
X Щ (<7з- ^4. <75. Я + ^1 + 02" 0 - (9 перестановок) +
+ 5(-^ + 2<7j?) us(q, qb, q6, - ?6, 7);
q>
"9 перестановок" в уравнении для и6 означает 9 неэквивалентных
перестановок импульсов (qu ..., <75) в члене, содержащем произведение
ы4(...)ы4(...).
Для члена dp/dt не написано пока никакого уравнения. Условие нормировки
(11.10) означает, что если функция "2(<7" 0 разложена по степеням q2:
M<7, t) = U2A(t) + u2B(t)q2-\- (11.20)
то "2в(0 не зависит от 7 и равно 1.
170
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Это в свою очередь означает, что
du2в (0 _ п dt ~и'
т. е. приводит к уравнению для dp/dt. Запишем ы4 в виде разложения по
степеням q'.
"4 (9. - Ч, Чи ~4ut) = и4А (<Ь 0 + Я • Ч\Щв (<7ь t) +
+ Ч2Щс(Чи t) + (q • 4i)2uiD(qu /) + ... (11.21)
(это разложение подразумевает наличие симметрии относительно вращений).
Тогда уравнение, определяющее dp/dt, будет иметь вид
0 = 2"2д ^ ^ [1 - 2"2л (^)] - 2ы2в ~Ь ^U2A [1 Ы2а (01 +
+ [""("¦' 0 + 0]. (11.22)
<Г|
Однако следует предупредить читателя, что простое условие нормировки:
U2s{t) = 1 для всех t- не всегда можно реализовать; необходимо быть
готовым к тому, что UzB{t) может равняться другой постоянной или,
возможно, даже зависеть от t. Пример решения уравнений, соответствующих
ренормализационной группе, и определения dp/dt содержатся в приложении.
"
Мы знаем теперь, как получить спин-спиновые корреляционные функции для
гамильтониана Жо, однако желательно также уметь находить их, когда задан
гамильтониан Ж4. Чтобы добиться этого, рассмотрим сначала производящий
функционал, заданный первоначально для <5^0, а затем выразим его через Жь
Начнем с того, что набросаем решение аналогичной задачи для случая одной
переменной х. Функция фо(*) в выражении (11.2) имеет сходство с ехр (Жй
[<т]); следовательно, построим производящий функционал в виде
-f оо
Z (/) - ^ Фо (х') ехр (/V) dx'. (11.23)
171
ГЛАВА 11
Непосредственное вычисление показывает, что выражение
(11.23) для произвольных t эквивалентно выражению
-Ь оо -j*oe 2
z (/) =5 \ ехР {Iх'2~-' '} G (я7. 0) -фо М dx? dx.
- ОО -00
(11.24)
(Для доказательства этого необходимо провести интегрирование по х',
используя явный вид (11.3) для функции Грина.) Изменение порядка
интегрирования дает
+ оо
Z(j)= 5 Ф (х'> 0 ехР { ix'е* - ] ^ 2~ ^ } dx'. (11.25)
- оо
Рассмотрим теперь производящий функционал, представляющий реальный
интерес:
Z (/) = Jexp | J j (q) a-q + Ж, j. (11.26)
Выражая производящий функционал через Mt и а" по аналогии с (11.25),
имеем
Z(j)=\ ехр / J J (q) а" , ехр {а, (/)} -
<Г С q
-j $ / (?) / (- Я) [ехр {2а, (/)} - 1] + 39Л 5 (11.27)
ч )
переход к о? дает
Z (/) = J ехр | ^ e-d№ep(t)j (q'e-t) <х', ехр \{q')2 - {q')2e~2t\ - o' X
o'
~ 1S} ^'e~^1 q'e~^ e~dt ^exp (r)q'2 ~ 2q'2e~2t + 2p (0) - 11 +
+ 2f$tW} }. (11.28)
Это чрезвычайно сложная формула. Согласно общим принципам подхода,
связанного с ренормализационной группой, единственное изменение в
вычислении корреляционных функций при переходе от гамильтониана Ж% к Шр
должно заключаться в изменении масштаба, а именно величина компо-
172
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
