Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
начало кривой D приближается к критической поверхности, траектория D
приближается к траекториям ? и О. В этом примере в является
подпространством S (оо).
часть - это по-существу траектория Е, идущая в неподвижную точку Роо, а
вторая - это траектория G, соединяющая две неподвижные точки.
[Приближение, соответствующее замене кривой D на траекторию G,
эквивалентно аппроксимации (4.41), сделанной в гл. 4. Изменение
переменной t в настоящей главе эквивалентно изменению п в (4.41).
Линейное приближение в гл. 4 справедливо только вблизи точки Роо, где
траектория G есть просто прямая линия: изменение п либо Т - Тс приводит
только к изменению положения на траектории G. Аналог кривой D в гл. 4
можно получить, если удержать в уравнении (4.41) члены, пропорциональные
Аг (величина Яг определена в гл. 4). Тогда аналог кривой Е в гл. 4
получается, если в уравнении (4.41) положить Т = Тс; это соответствует
учету только членов, пропорциональных А?.]
188
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Обратимся теперь к пространству 5(оо), определенному выше..При некоторых
предположениях S(oo) совпадает с кривой G, которая включает в себя две
конечные точки Р", и Ро. Любое взаимодействие 36 на кривой G мы можем
экстраполировать назад вдоль траектории для произвольной величины времени
t, не рискуя выйти за пределы пространства 5. Причина этого состоит в
том, что при приближении к точке Р" величина >оо на кривой G; однако, для
того чтобы попасть в точку Роо с | = оо из любой другой точки с конечной
величиной |, требуется бесконечный промежуток времени (так как Ъ = ег%).
Это означает, что любая точка на кривой G принадлежит пространству 5(оо).
Экстраполируя назад по t любое другое взаимодействие из пространства S,
не принадлежащее кривой G, мы можем выйти за пределы пространства 5.
Например, экстраполяция в обратном направлении траектории D (фиг. 12.6)
привела бы к тому, что траектория D вышла бы за пределы фигуры. Если так,
то пространство 5(оо) совпадает только с кривой G.
Это замечание завершает формулировку простейшей топологии,
соответствующей ренормализационной группе. Теперь следует сделать
несколько общих замечаний. Прежде всего заметим, что главная роль
неподвижных точек заключается в том, что они выступают в качестве
"временных стоков". Шары, движущиеся по траекториям, которые направлены в
неподвижную точку, проводят вблизи нее бесконечный промежуток времени
(точно так же, как шар, скатывающийся к седловой точке, затрачивает
бесконечный промежуток времени, чтобы ее достичь). Это происходит потому,
что скорость d36t/dt при приближении 36% к неподвижной точке стремится к
нулю. По той же причине шары, движущиеся по таким траекториям, как
траектория D на фиг. 12.6, которая проходит вблизи неподвижной точки,
проводят вблизи нее большой промежуток времени. Существование таких
временных стоков позволяет траекториям находиться в компактной области
пространства 5 бесконечное время; в противном случае существовала бы
опасность, что траектории выходили бы за пространство S, особенно когда
мы пытаемся двигаться вдоль траектории в обратном направлении по времени.
Второе замечание состоит в том, что в рассматриваемом здесь примере
только одна траектория выходит за пределы критической поверхности: это
траектория G. Причина того,
189
ГЛАВА 12
что траектории не выходят за критическую поверхность где-то в другом
месте, кроме точки Р<*,, состоит в том, что вне критической точки
скорость d^t/dt отлична от нуля, а во всех точках критической
поверхности, где скорость отлична от нуля, она должна быть направлена
вдоль критической поверхности. До тех пор пока скорость непрерывна в
пространстве 5, направление ее должно быть параллельно критической
поверхности для точек, бесконечно близких к этой поверхности. Поэтому
такие траектории, как D, остаются вблизи критической поверхности до тех
пор, пока они не достигнут окрестности точки Роо. В точке Рао для
скорости нет хорошо определенного направления; следовательно, в точках,
бесконечно близких к Роо, скорость может быть перпендикулярна критической
поверхности.
§ 2. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ, ПОДПРОСТРАНСТВА И ПЕРЕНОРМИРОВКА 1. Приложение к
теории поля
Теперь будет рассмотрена проблема перенормировки в квантовой теории поля.
Для иллюстрации общих идей перенормировки будет использована простая
топологическая картина, описанная выше. Из оригинальной работы Гелл-Манна
и Лоу [13] с очевидностью следует, что проблема перенормировки включает в
себя ренормализационную группу и ее неподвижные точки. Обзор метода Гелл-
Манна и Лоу содержится в работе [76]. Мы увидим здесь, что и простая, и
общая формулировки перенормированной теории поля могут быть даны в
терминах определенного выше пространства S(оо).
В действительности проблема перенормировки состоит из двух частей. В
первой части в пределе бесконечного обрезания стремятся получить конечные
теории (т. е. теории без расходимостей). Эту часть проблемы очень легко
