Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотреть в терминах пространства 5(оо). Во второй части хотят получить
теории со взаимодействием. Эта часть проблемы будет рассмотрена позже в
терминах гауссовых и негауссовых неподвижных точек. Как будет видно из
гл. 13, в четырехмерном пространстве-времени трудности возникают именно
во второй части проблемы. См., однако, список дополнительной литературы,
приведенный в конце книги.
Мы рассмотрим проблему перенормировки, используя традиционный подход.
190
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Предположим, что нас интересует решение для модели с взаимодействием ф4.
Чтобы сделать эту теорию конечной, т. е. избавиться от расходимостей,
вводится (как в гл. 10) некоторое обрезание Ло. Проблема теперь состоит в
том, чтобы в пределе Ло-1> оо получить конечную теорию, свободную от
ультрафиолетовых расходимостей.
¦ С
•Лв-Ю
- ?=оо
'л0=°°
Фиг. 12.7. Ренормированные траектории, выходящие из канонической
поверхности С (рассматривается теория взаимодействия Ф4 с обрезанием).
Каноническая поверхность пересекает критическую поверхность в точке,
соответствующей Л0=°о. Траектория G определяет реформированную теорию.
Такие траектории. как G, называются "ренормированные траектории".
Взаимодействие с обрезанием Ло можно превратить, изменяя масштаб в
пространстве импульсов, во взаимодействие с параметром обрезания, равным
единице, так что оно станет взаимодействием, принадлежащим пространству
5. Во взаимодействии имеется два свободных параметра (голая масса и
затравочная постоянная связи), следовательно, каноническая поверхность
является двухмерной. На фиг. 12.7 каноническая поверхность иллюстрируется
кривой С.
По определению "канонической кривой" ^в(Ло)-это множество безразмерных
взаимодействий из пространства 5 по одному для каждого значения параметра
обрезания Ло- Если никакой перенормировки еще не проведено и
191
глава 12
параметр обрезания определяется просто наибольшим импульсом (а не
обрезанием, которое задается решеткой, как в гл. 10), тогда безразмерные
параметры в гамильтониане 5^d(A0) будут иметь вид
2
г о (А-о) - -у и "о (Ао) = А0А0 " о
где (х0 и А0 - голая масса и голый заряд (величины г0 и щ определены в
гл. 4). Найдем для взаимодействия 96D{A^ безразмерную корреляционную
длину |д(Ао). В гл. 10 было установлено, что величина (оо) должна быть
равна оо для того, чтобы конечной была величина рд, и что это утверждение
неправдоподобно, если не проведено никакой перенормировки.
Проведение перенормировки обычно означает такой выбор зависимости голой
массы ро и затравочной постоянной взаимодействия Ао от параметра
обрезания Ао, что перенормированная масса рд и перенормированная
постоянная взаимодей" ствия Ал становятся не зависящими от параметра
обрезания. В рамках рассматриваемой здесь простой топологии оказывается,
что достаточно будет удерживать не зависящей от об-> резания только
перенормированную массу рл (см. ниже). Процедура для выполнения этой
программы уже обсуждалась в гл. 10. Если нам даны безразмерные параметры
г0 и и0, то безразмерная корреляционная длина | определяется независимо
от параметра Ао, т. е. | = |(г0, и0). Выберем далее более конкретно
величину рл. А именно, выберем теперь параметр Ао так, что
Ао - РдЕ (го> ао).
[Это аналогично тому, как в гл. 10 постоянная решетки была выбрана равной
1 /рд ЦЬ, и0, А).] Чтобы получить кривую 96D (А0), предположим, что
величина параметра и0 задана. Тогда уравнение А0 = Рд| (г0, "о) можно
решить относительно г0 и мы получим величину г0 как функцию параметра
обрезания А0. Зная функцию г0(А0), можно определить величины
Ро =" го (Ао) А0 и Aq = UqAq
Предел Ао->оо соответствует теперь пределу г0г0с(ыо), гДе величина
г0с("о) - значение параметра г0 на критической поверхности.
Перенормированная масса (в физических едини-
192
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
цах) равняется Ао/|(г0, "о) (см. гл. 10) и, следовательно, не зависит от
параметра г0 по построению.
Кривая (Ло) изображена на фиг. 12.7. Здесь каноническая поверхность
заменена кривой (в противном случае для иллюстрации нам потребовался бы
чертеж размерностью больше двух, а это неудобно). Кривая 3@D(Ao) на фиг.
12.7 является частью кривой С. Мы покажем теперь, что эта каноническая
кривая определяет перенормированную теорию, которая не зависит от
параметра ы0-
Предположим, что мы решили уравнение ренормализационной группы (12.1) с
Звв(Ао) в качестве начального взаимодействия. В пространстве 5 это дает
множество кривых Mt(Aо). Например, кривая А на фиг. 12.7 соответствует
Жг(А), а кривая D - (10). Так как для изменения мас-
штаба взаимодействия Жв(Ао) масштабный множитель уже выбран, а именно Л0,
то мы знаем масштабный множитель для изменения масштаба a@t(Ao): он равен
е_(Л0.
Рассмотрим теперь следующее. Для каждого значения параметра Ло существует
такая величина t, при которой траектория, соответствующая <5^<(Ло),
пересекает поверхность взаимодействий с | = 1. Множество таких
