Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
просто. Менее тривиально получить при а -> О определенные пределы для
полевых вакуумных средних. Трудность состоит в том, что необходимо знать,
как ведут себя при К-+ Кс многоспиновые корреляционные функции. В
частности, мы интересуемся вакуумными средними для расстояний, которые
фиксированы в единицах ц^1. Фиксированное в этих единицах расстояние
является расстоянием, которое в единицах постоянной решетки
пропорционально |. Таким образом, если поведение корреляционных функций,
медленно спадающих на бесконечности, при /С -> Кс очень усложняется,
вакуумные средние при К-* Кс не будут иметь определенного предела. В гл.
12 будет показано, что непрерывный предел для всех вакуумных средних
действительно существует, если критическое поведение определяется
неподвижной точкой ренормализационной группы.
6 Зак. 409
161
ГЛАВА 10
Мы закончим эту главу двумя краткими замечаниями.
а. Для d <. 4 определенная обычным образом теория взаимодействия Х0ф4
является легко перенормируемой в рамках теории возмущений, причем для
этого требуется только небольшая перенормировка массы. Это связано с тем
фактом, что, как указывалось выше, uq-*0, если а->0. Однако отталкиваясь
от статистической механики и удерживая фиксированным при а -* 0 параметр
ий (вместо Я,0), можно построить для d < 4 более общую теорию поля.
Существование предела в этом случае установлено (в предположении, что
существует неподвижная точка) в гл. 12. Именно эта теория содержит
тензорные операторы с аномальными размерностями, которые были вычислены в
гл. 9.
б. Обычно считается само собой разумеющимся, что в квантовой теории
гильбертово пространство имеет положитель^ ную метрику (хотя со стороны
Гейзенберга и других имел место некоторый флирт с квантовыми теориями
поля с индефинитной метрикой). Использование формализма матрицы переноса
приводит к тому, что статистическая механика определяет квантовую теорию
поля с положительной метрикой на решетке. Это нетривиальный результат,
так как в статистической механике можно построить такие модели, для
которых нельзя найти эквивалентные квантовые теории поля с положительной
метрикой. Простым примером является гауссова модель со взаимодействием
\[ro + q2]2°qo-q. (Ю.49)
я
Пропагатор в этой теории равен
1
(Го + <72)2
и имеет двойной полюс в точке q2 = -го. Двойной полюс не может иметь
место для квантовой теории с положительной метрикой. Следовательно, эту
теорию нельзя представить как теорию поля на решетке, имеющую матрицу
переноса. Основное ограничение подхода, основанного на матрице переноса,
заключается в том, что взаимодействия между рядами рассматриваются только
для ближайших соседей, так что выполняется соотношение (10.7).
Следовательно, решеточные приближения для (10.49) с необходимостью
включают в себя взаимодействия соседей, по крайней мере следующих за
ближайшими,
Глава It
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Цель этой главы - дать точную формулировку ренорма-лизационной группы в
дифференциальной форме. Полученные уравнения оказываются очень сложными,
поэтому мы не будем рассматривать их слишком подробно. Внимание будет
уделено идеям, лежащим в основе этого подхода. (Выведенные здесь
уравнения содержались в неофициальном сообщении К. Вильсона на
конференции в Ирвине (1970); ранее они не были опубликованы.)
Формальное обсуждение следствий, к которым приводит ренормализационная
группа, лучше всего проводить, если представить ее в дифференциальной
форме. Дифференциальная форма полезна также и при исследовании свойств е-
разложения во всех порядках (в частности, для решения вопроса типа
"существует ли оно"; на этот вопрос до сих пор еще нет ответа). Большие
возможности, связанные с этой формой, возникают и потому, что мы теперь
можем получить приближенные формы преобразования, позволяющие провести
численное интегрирование, а это в свою очередь приводит к решению
проблем, которые нельзя решить каким-либо другим способом.
В предыдущих главах для получения дискретного преобразования,
соответствующего ренормализационной группе, было проведено интегрирование
спиновых компонент оч с \q\ > 7г. Затем был изменен масштаб оставшихся
компонент ач (|<7| < 72) в результате замены их на где ? -
постоянная масштабного преобразования.
Очевидный путь построения инфинитезимального преобразования - проведение
интегрирования только по тем oq, для которых импульсы q изменяются в
области
1 ~bt<\q\< 1,
6*
163
ГЛАВА 10
Мы закончим эту главу двумя краткими замечаниями.
а. Для d < 4 определенная обычным образом теория взаимодействия является
легко перенормируемой в рамках теории возмущений, причем для этого
требуется только небольшая перенормировка массы. Это связано с тем
фактом, что, как указывалось выше, щ ->0, если а->0. Однако отталкиваясь
от статистической механики и удерживая фиксированным при а ->¦ 0 параметр
uQ (вместо Я,0), можно построить для d < 4 более общую теорию поля.
