Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
пересечений определяет кривую J, показанную на фиг. 12.7. Например,
траектория 2@t(4) (кривая А на фиг. 12.7) пересекает кривую J в точке Q4.
Взаимодействие, отвечающее точке Q4, определяет ту же самую физическую
картину, что и взаимодействие Ж0(А). Аналогично взаимодействие,
отвечающее точке Q\o, определяет ту же физическую картину, что и
взаимодействие Жв(Ю). Единственное изменение состоит в масштабном
преобразовании. Легко видеть, что изменение масштаба одинаково как для
взаимодействия, отвечающего точке Qi, так и для взаимодействия,
отвечающего точке Qю. Взаимодействие Жв(Ао) было определено так, что
соответствующая ему корреляционная длина оказывалась постоянной и, будучи
выражена в физических единицах (а именно '), не зависела от параметра
обрезания Ло; а так как взаимодействия Q4 и Qю опреде--ляют одну и ту же
физику, что и взаимодействия <Жл(4) и Жв(Ю), то они определяют также
одинаковую физическую корреляционную длину. Поскольку точкам Q4 и <2ю
отвечает одна и та же безразмерная корреляционная длина, равная 1,
множитель масштабного преобразования будет одинаков для обоих
взаимодействий, соответствующих точкам Q4 и Qю (а именно импульсы
умножаются на рл/| = рн).
7 Зак. 409
193
ГЛАВА 12
Пусть теперь параметр обрезания Ло->• оо. В этом пределе точки Q4 и Qio
заменяются точкой Qo, - точкой пересечения кривой / с траекторией G.
Точка Qoo соответствует хорошо определенному взаимодействию с обрезанием,
следовательно, она описывает все физические свойства модели, включая
полный набор вакуумных средних. Итак, предел Ао -*¦ оо существует: это
значит, что в пределе Ло оо существует конечная (перенормированная)
теория, т. е. теория без расходимостей.
В такой формулировке мы имеем дело с перенормировкой массы (поскольку
голая масса jxo зависит от параметра обрезания Ло). При этом для
постоянной взаимодействия имеется лишь тривиальная перенормировка (вместо
параметра ко фиксированным удерживается параметр ы0), и, таким образом,
перенормированная теория не зависит от uq. Следовательно, в
перенормированной теории нет свободной постоянной взаимодействия;
единственным свободным параметром в этой теории является
перенормированная масса р,д. Причина кроется в простой топологии, которая
здесь предполагается; в следующей главе будут рассмотрены примеры
перенормированных теорий с большим числом свободных параметров.
Перенормированная теория, в особенности связанная с нетривиальными
неподвижными точками г*, и*, рассмотренными в гл. 4, является примером, в
котором перенормированная постоянная взаимодействия фиксирована [74]. Это
со всей очевидностью следует из гл. 7 и 8; выражения для корреляционных
функций с бесконечным радиусом корреляции зависят соответственно только
либо от корреляционной длины |, либо от параметра г. Как уже было
показано в работе [76], могут существовать неподвижные точки, в которых
перенормированная постоянная взаимодействия фиксирована, а непе-
ренормированная постоянная взаимодействия произвольна (в работе [76] это
свойство было названо "инфракрасной стабильностью") .
В рассматриваемой теории имеется также перенормировка волновой функции.
Происходит она потому, что перенормированное поле Фи(х) может отличаться
от фурье-образа спиновой переменной а' в точке Q" по крайней мере на
конечный масштабный множитель. В свою очередь эта спиновая переменная
будет отличаться от исходной спиновой переменной oq, входящей во
взаимодействие 3SD{°°), на бесконечный масштабный множитель, потому что
траектория, направлен-
194
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
ная из точки, соответствующей оо), в точку Q^,, проводит бесконечно много
времени в неподвижной точке Р". (Исходная спиновая переменная од
отличается, по-видимому, на бесконечный масштабный множитель от
неперенормированного поля: соотношение (10.46) с а - 0, например,
соответствует А0 = оо; маловероятно, чтобы два бесконечных масштабных
множителя скомбинировались так, чтобы образовался конечный множитель.)
То, что перенормированная теория не зависит от параметра "о. является
примером универсальности в теории поля. Мы обладаем даже большей
свободой: мы можем выбрать каноническую кривую <5^к(Ло) так, чтобы она
совпадала с самой траекторией G, и по-прежнему получим ту же самую
перенормированную теорию. (Это означает, что мы готовы рассматривать
кривые ^d(Ao) не только на исходной канонической поверхности.)
Обобщение этого результата состоит в следующем. Любая траектория,
соответствующая уравнению ренормализационной группы (12.1), которую (как
G), не покидая пространство 5, можно экстраполировать в обратном
направлении к критической поверхности (t - - оо), определяет некоторую
перенормированную теорию. Причина этого проста: затравочное
взаимодействие г^ц(Ло) можно выбрать так, чтобы оно отвечало точке на
траектории, которой соответствует корреляционная длина g = Ло/рд.
Поскольку траектория экстраполируется обратно к критической поверхности,
