Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия. Взаимодействия в гамильтониане Жг с из-
179
Топологические свойства ренормализационной группы
мененным масштабом будут иметь радиус по крайней мере порядка е*/Ло. В
исходный же гамильтониан 36$ с измененным масштабом, если к нему
умышленно не добавлены взаимодействия с большим радиусом, входят
взаимодействия только с радиусом 1 /Ло-
Отвечающий короткодействию член в гамильтониане Ша до изменения масштаба
практически имеет вид
в то время как примеры членов, характеризующих дальнодействие (т.'е.
взаимодействия с большим, но конечным радиусом действия), имели бы вид
(если радиус взаимодействия бесконечен).
В пространстве 5 мы будем рассматривать только те взаимодействия, у
которых в безразмерных единицах короткий радиус действия. Для этого
имеется несколько причин. Одна из них практического характера: в
приближенных схемах, приведенных в предыдущих главах, предполагается, что
гамильтониан содержит простые взаимодействия с коротким радиусом. Более
фундаментальной причиной является то, что качественные утверждения
относительно критического поведения (например, универсальность) станут,
как известно, неверными, если включить в рассмотрение взаимодействия с
большим радиусом (см., например, [56, 97]). Для теории ренормализационной
группы, излагаемой ниже, тот факт, что пространство 5 содержит только
взаимодействия с коротким радиусом, будет также решающим.
Пространство 5 должно быть достаточно велико для того, чтобы все
эффективные взаимодействия Жи которые порождаются из некоторого
произвольного Жй е 5, лежали в пространстве 5. Поэтому необходимо
удостовериться, например, в том, что взаимодействия имеют короткий радиус
(до изменения масштаба). К сожалению, в общем случае в этом нет
J J ехр {- (* - у)2} s (*) s (у),
X у
J 5 ехр {- 0,0001 (х - у)2} s (х) s (у),
X у
или
179
ГЛАВА 12
никакой уверенности. Это справедливо для примеров, которые решены до сих
пор. (Заметим, однако, что неправильный вы-бор функции р(/) в уравнении,
которое рассматривалось в гл. 11, может привести к взаимодействиям с
большим радиусом; см. приложение.) В приближенных формулировках
ренормализационной группы (например, приближенная рекуррентная формула,
рассмотренная в гл. 6) мы можем заменить пространство 5 на его
подпространство, однако при этом мы должны удостовериться, что
приближенное преобразование переводит подпространство в себя.
Фиг. 12.1. Линии, характеризующиеся фиксированной величиной
корреляционной длины §.
Линия, соответствующая !=°°, отвечает "критической поверхности" Sc.
Имеются четыре типа подпространств, или "поверхностей" в пространстве S,
которые следовало бы определить.
Во-первых, элементы пространства 5 можно разделить в соответствии с
корреляционной длиной, которая им приписывается. Таким образом
определяются поверхности, содержащие все те взаимодействия Же5, которые
имеют заданную величину безразмерной корреляционной длины |. Специальный
интерес будет вызывать "критическая поверхность", обозначаемая 5С, для
которой g = оо. На фиг. 12.1 показано возможное множество поверхностей,
соответствующих фиксированным |, в пространстве, которое характеризуется
только двумя параметрами г и и.
Во-вторых, имеется поверхность, отвечающая простым взаимодействиям,
которая будет называться "канонической поверхностью". Эта поверхность
содержит множество начальных взаимодействий Mq для заданной системы или
модели.
180
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Например, каноническая поверхность могла бы содержать взаимодействия
(4.2) сгнив качестве единственных свободных параметров.
В-третьих, имеются поверхности, соответствующие определенной симметрии.
Например, чтобы учесть взаимодействия на решетке, пространство 5 должно
включать в себя такие
Фиг. 12.2. Вложенные друг в друга подпространства S(t). В этом примере
подпространство S (оо) одномерно.
взаимодействия, которые не являются инвариантными относительно вращений.
(Взаимодействия на трехмерной кубической решетке имеют кубическую
симметрию, но не обладают симметрией относительно произвольных
поворотов.) В таком случае в пространстве 5 будет существовать
подпространство 5Я таких взаимодействий, которые инвариантны относительно
вращений.
Наконец, существуют подпространства S(t), порождаемые действием
преобразования U на само пространство 5. Это означает следующее.
Допустим, у нас имеется пространство 5, как это изображено на фиг. 12.2,
и на пространстве 5 определено инфинитезимальное преобразование U.
Пространство
181
ГЛАВА 12
S(6t), соответствующее бесконечно малому сдвигу 8t, определяется как
множество точек Ж', таких, что
Ж'= Ж + Ы-и[Ж\, (12.4)
где Ж - некоторая точка в пространстве S. Пространство S(28t) получается
тогда с помощью действия преобразования U на пространство S(8t):
пространство 5(260 содержит все взаимодействия Ж' вида (12.4), где Ж
некоторая точка в пространстве S(8t). По индукции можно определить
пространство S(t) для любого значения величины t. Другими словами, если
