Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
должна иметь величину ?* = 0, либо !*=<", поскольку если S^t - Ж, тогда
?* = ?*,. однако, так как Ж является решением уравнения (12.1), для
функции должны выполняться соотношения: ?* = е~%й - е~%*.
Чтобы продемонстрировать топологические идеи, касающиеся метода
ренормализационной группы, мы намерены рассмотреть сейчас простейшую
топологическую структуру, которая может быть в этом случае. Имеется много
способов усложнить топологию, описанную ниже, однако все эти усложнения
нетрудно учесть, если усвоить простейшую картину.
Предположим, что имеются только две неподвижные точки: одна соответствует
|* = 0, вторая |* = оо. На фиг. 12.4 эти неподвижные точки обозначены
соответственно Pq и Р<х,. Будем предполагать, что неподвижная точка Роо
обладает теми же свойствами, что и неподвижная точка (г*, и*), упомянутая
в гл. 4.
Простейшее поведение, которое можно получить для траектории в пределе t -
> оо - стремление к неподвижной точке. В принципе это не единственный
способ поведения траектории, однако как это было видно из предыдущих
глав, это единственный предельный способ поведения; будет предполагаться,
что он имеет место и здесь. Другие возможности рассматриваются в работах
[10, 76]. Если все траектории стремятся к неподвижным точкам, тогда те из
них, которые отвечают конечным значениям корреляционной длины |, при / ->
оо стремятся к точке Р0 (например, кривая А на фиг. 12.4), а те
траектории, которые находятся на критической поверхности, стремятся к
точке Рсо (кривая В на фиг. 12.4).
Всему этому имеется простая аналогия из классической физики, которая
служит примером рассматриваемой здесь топологии [36]. Представим себе
шар, катящийся по склону
185
ГЛАВА 12
холма в соответствии с уравнением движения
TT = -VV{x), (12.6)
где х = {х, у)- горизонтальные координаты шара, а функция V(x)-высота
холма в точке х. (Это уравнение является некоторым упрощением второго
закона Ньютона: в последнем член, содержащий произведение массы на
ускорение, заменен скоростью dxjdt.) Пример карты рельефа для функции V
показан на фиг. 12.5. Предполагается, что функция !/(*) ана-литична по х.
Уравнение движения является примером уравнения типа (12.1); при этом
неподвижным точкам соответ-
Фиг. 12.4. Случай простой топологии.
Пространство S обладает двумя неподвижными точками Рд я Р^. Точка Р ^
лежит на критической поверхности, ей соответствует ?=°°- Точке Ра
соответствует 5=0, Кривая В направлена в точку р , а криван А в точку Рд.
ствуют стационарные точки функции У(*). На фиг. 12.5 показаны две
неподвижные точки: точка Ро соответствует абсолютному минимуму V(x), а
Роо является седловой точкой. Если шар помещен в некоторой точке к западу
от гребня функции V(x), обозначенного линией R (см. фиг. 12.5), тогда он
скатывается к точке склона Р0, соответствующей минимуму У(я), и
останавливается в ней (кривая Л на фиг. 12.5 - пример траектории движения
шара). Если шар помещен в точности на гребне R, он катится вниз к
седловой точке Ра" и останавливается (см. кривую Е на фиг. 12.5). Линия
греб'
186
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
ня R в этом случае аналогична критической поверхности, со* ответствующей
уравнению ренормализационной группы (12.1).
Интересно исследовать траекторию шара, когда он помещается бесконечно
близко к линии гребня R. В этом случае он скатывается вниз почти до
седловой точки, находясь вблизи линии гребня. Это иллюстрируется кривой D
на фиг. 12.5. Вблизи седловой точки шар меняет направление движения,
Фиг. 12.5. Карта рельефа для случая топологии, соответствующей
фиг. 12.4.
Рдд - седловая точка на хребте (гребне) R, точка PQ-дно лощины в. Путь D
отвечает движению шара, который первоначально находился вблизи линии
гребни; он проводит большую часть времени в окрестности седловой точки Р
по в конце концов скатывается в лощину G и останавливается на Дне в точке
Рл.
отходит от линии гребня и скатывается в лощину G. Вблизи седловой точки
шар катится очень медленно, так как склон в этой области становится почти
плоским.
Пусть теперь начальное положение шара берется ближе к гребню R. В этом
пределе кривая D стремится к предельной кривой Е. Кривая Е состоит из
двух частей: одна часть - это отрезок линий гребня R, а вторая - это
линия G, определяю-
187
ГЛАВА 12
щая дно лощины. Линия G является так же траекторией шара, если он
начинает двигаться из точки, бесконечно близкой к точке Роо.
Перейдем опять к рассмотрению простого примера ренормализационной группы
с двумя неподвижными точками (фиг. 12.4). Рассмотрим траекторию, которая
начинается в точке, расположенной бесконечно близко к критической
поверхности (кривая D на фиг. 12.6). Предположим, что аналогия с
классическим уравнением движения является справедливой, тогда кривая D
состоит из двух частей: одна
Фиг. 12.6. Траектории, соответствующие ренормализационной группе в
окрестности двух неподвижных точек.
Кривая D начинается вблизи критической поверхности. По мере того как
